弟２９卷笫５期 武夷学院学报 ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＷＵＹＩ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ Ｖ０１．２９ Ｎｏ．５ ０ＣＴ．２０ １Ｏ ２０１０年ｌ０月 基于ＬＭＩ的Ｔ—Ｓ模糊控制系统的研究 王效华 牛思先 （１．武夷学院电子工程系，福建武夷山３５４３００；２．济源职业技术学院河南济源４５４６５０） 摘要：非线性控制系统具有不确定性，对复杂的非线性系统倒立摆的分析研究，采用Ｔ—ｓ型模糊模型设计其控制系 统，利用ＬＭＩ求得可行性最优解，使得控制系统满足良好的特性。最后用ＭＡＴＬＡＢ工具箱的ＬＭＩ求解并进行仿真试验， 达到较高的控制要求。 关键词：ＬＭＩ；Ｔ—Ｓ模糊模型；倒立摆；仿真 中图分类号：ＴＰ２７３．４ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７４—２１０９（２Ｏ１０）０５—００６２－０５ 工具。利用线性矩阵不等式求解一些控制问题，是目 引言 前和今后控制理论发展的一个重要方向。 采用Ｔ－Ｓ模糊系统进行非线性系统建模的研究 单级倒立摆系统是一种特殊的单力臂机器人被 是近年来控制理论的研究热点之～。实践证明，具有 控对象，是一个复杂的非线性系统，其控制器设计应 线性后件的Ｔａｋａｇｉ～Ｓｕｇｅｎｏ模糊模型以模糊规则的形 该有良好的鲁棒稳定性。 式充分利用系统局部信息和专家控制经验，可以任意 线性矩阵不等式（Ｌｉｎｅａｒ ＭａｔＨｘ Ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ，ＬＭＩ）是 精度逼近实际被控对象。Ｔ－Ｓ模糊系统的稳定性条件 控制领域的一个强有力的设计工具。许多控制理论的 可以表述成线性矩阵不等式ＬＭＩ的形式，基于Ｔ—Ｓ模 分析与综合都可以简化为相应的ＬＭＩ问题，通过构造 糊模型的非线性系统的鲁棒稳定和自适应控制的研 有效的计算机算法求解。 究是控制理论研究的热点。 随着控制技术的迅速发展，在反馈控制系统的设 计中，常需要考虑许多系统的约束条件，例如系统的 １ Ｔ—Ｓ型模糊系统的设计 不确定性约束等。在处理系统鲁棒控制问题以及其他 控制理论引起的许多控制问题时，都可以将所控制问 针对／＇ｔ个状态变量ｍ个控制输入的连续非线性 题转化为一个矩阵不等式或带有线性矩阵不等式约 系统，其Ｔ－Ｓ型模糊模型可以描述为以下ｒ条模糊规 束的最优化问题。目前采用线性矩阵不等式（ＬＭＩ）技 则【 Ｉ２］： 术已成为控制工程系统辨识结构设计等领域的有效 规则ｉ： ｆ ＩＦ ｘｌ（ｔ）ｉｓ Ｍ１ ａｎｄ ｘ２（ｔ）ｉｓ ａｎｄ…ｘｎ（ｔ）ｉｓ Ｍ （１） ＴＨＥＮ ｘ（ｔ）＝Ａ￣ｃ（ｔ）＋Ｂｉｕ（ｔ），ｉ＝１，２，…ｒ 收稿日期：２０１０—０９－０６ 作者简介：王效华（１９６３一），男，汉族，副教授，主要研究方 其中 为系统第Ｊ．个状态变量， 为第ｉ条规则的第 向：单片机、ＰＬＣ及智能控制系统的研究与应 个隶属函数， （ｆ）为状态向量， （￡） 。（ ）… （ｔ）］ｒｅＲ ， 用。 为控制输入向量，ｕ（ｆ） （ ）… （ｆ）ｒ∈Ｒ ，Ａ ∈ 一， 王效华 牛思先：基于ＬＭＩ的Ｔ—Ｓ模糊控制系统的研究 ・６３・ Ｂ ∈ 根据模糊系统的反模糊化定义，由模糊规则（１）构 成的模糊模型总的输出为 ∑Ｗ ［ ０）＋Ｂ ）】 （２） 其中Ｗ 为规则ｉ的隶属函数，ＷＦｎ （钆（ ））． ｉ＝１ 针对每条Ｔ—Ｓ模型规则，采用状态反馈方法，可设 计ｒ条模糊控制规则： 控制规则ｉ： ＩＦ （￡）ｉｓ， ｔ ａｎｄ 。（￡）ｉｓ』）ｌ ａｎｄ… （￡）ｉｓ Ｊ７ｌ ｔ（３） ＴＨＥＮ （￡）＝Ｋ （￡），ｉ＝ｌ，２，…，ｒ 并行分布补偿（ＰＤＣ）方法是由Ｓｕｇｅｎｏ等提出的 一种基于模型的模糊控制器设计方法，该方法的稳定 性分析由【１］文献给出，使用于解决基于Ｔ—Ｓ模糊建模 的非线性系统控制问题。利用ＬＭＩ方法设计Ｔ—Ｓ模型 建模的非线性系统的控制问题，文献［２］有很多描述， 根据模糊系统的反模糊化定义，针对连续非线性系统 式（１），根据模糊控制规则式（３），采用ＰＤＣ方法设计 Ｔ—Ｓ型模糊控制器为［。Ｉ４１： ∑ｗｊＫｊｘ（ｔ） （￡）＝ ：∑嘶（ ） ） （４） ∑ｗｉ ：１ 其中∑ （ ）＝１． ｉ：１ 定理１ 存在正定矩阵Ｑ，当满足条件式（５）时，Ｔ— Ｓ模糊系统（１）渐进稳定。 ｑａ Ｑ＋Ｖ Ｂ＋Ｂｙ＜Ｏ，ｉ＝１，２，…，ｒ ｒ ｒ ｒ ｒ ＱＡＩ＋Ａ起七ＱＡｉ＋ＡｉＱ十ｖｉ Ｂｔ＋ＢｉＶｉ＋ＶｔＢｉ＋ＢｊＶｉ＜Ｏ，ｉ＜ｊ＜－ｒ （５） Ｑ＝ｐ－ ＞０ 其中ＶＦＫＱ，即Ｋ产 Ｑ一＝ＶｉＰ，ｉ＝１，２，…，ｒ． 定理１的证明见文献【２】，根据式（５），利用ＬＭＩ方 法可以求出式（４）的增益 ． ２单级倒立摆的Ｔ—Ｓ模糊模型的建立 倒立摆系统的控制问题一直是控制研究的一个 典型问题。控制目的是通过小车底座施加一个力ｕ（控 制量），使小车停留在预定位置，并使摆不倒下，即不 超过一预先定义好的垂直偏离角度范围嘲嘲 ，如图１ 所示。 诂 ｚ ———＿ ■—一 （６）ｏ Ｊ 的质量， １・ ｃ。ＳＸｌ－－￣１ 一± 时，ｓｉ眦 一±１一 由此可得以 规则２ ＩＦ （￡）ｉｓ ａｂ。ｕｔ±手（ ＜手）， 其…中Ａ ＝Ｉ 【４ｌ／３ｇ 一 。ａ Ｊｍｌ Ｈ｛ ， Ｂ＝ｌ【 ４ｌ／３ 一 Ｊｏ—ｌｍｌ １ｉ ，ｆｌ 志。 ｌ＝Ｉ 】ｌ＇ ・６４・ 武夷学院学报２０１０年第５期 ３ ＬＭＩ的设计及求解方法 根据定理ｌ，倒立摆的线性矩阵不等式可表示为嘲： １ ＩＱ＋Ｉ／１Ｂ１・ ｌ １＜Ｄ ｒ ｒ （２Ａ ２十４ ｚＱ＋Ｖ２Ｂ２＋Ｂ２Ｖ２＜Ｏ （７） ｒ Ｑ１Ａ ｌ卅ｚＱ＋ＱＡ ２“２Ｑ＋ ２ＢＩ＋ １ ２＋ Ｉ Ｂ２＋Ｂ２ＶＩ＜Ｏ Ｑ＝Ｐ ＞０ 其中Ｋ１＝ １Ｐ，Ｋ２＝ ２Ｐ，ｉ＝１，２． ＭＡＴＬＡＢ中包含许多ＬＭＩ的求解函数，针对线性矩 阵不等式ｆ７）’采用ＭＡＴＬＡＢ进行求解。用来建立和描述 ＬＭＩ的主要函数如下：ｓｅｔｌｍｉｓ和ｇｅｔｌｍｉｓ是一个线性矩 阵不等式的描述，以ｓｅｔｌｍｉｓ开始，以ｇｅｔｌｍｉｓ结束；ｌｍｉｖａｒ 用于描述出现在线性矩阵不等式中的矩阵变量；Ｉｍｉｔｅｒｍ 用于描述每一个线性不等式中各项内容【 Ｏｉｌ １。因此式（７） 中的４个线性矩阵不等式ＭＡＴＬＡＢ表示如下： ＠ＱＡ ｒ ＋｜４１Ｑ＋ ＴＢ１Ｔ＋Ｂ１１Ｖ ＜Ｄ的方程为 ％Ｆｉｒｓｔ ＬＭＩ ｌｍｉｔｅｒｍ（［１ ｉ １ Ｑ】，Ａｌ，ｌ，，ｓ，）； ｌｍｉｔｅｒｍ（［１ ｌ １ Ｖｌｊ，Ｂ１，１， ｓ，）； ② ：’ ：Ｑ＋Ｉ／Ｔ：日 Ｔ＋Ｂ：Ｖ：＜Ｄ的方程为 ％Ｓｅｅｏｎｄ ＬＭＩ ｌｍｉｔｅｒｍ（［２ ｌ １ ＱＩ，Ａ２，ｌ， ｓ，）； ｌｍｉｔｅｒｍ（［２ １ ｌ Ｖ２］，Ｂ２，１，，ｓ，）； ⑧Ｑ１ＡＩ＋Ａ￣Ｑ＋ＱＡ ２＋Ａ ２Ｑ＋Ｖ２Ｂ１柏１ｌ，２＋ １Ｂ２＋Ｂ２Ｖ１＜０ 的方程为 ％Ｔｈｉｒｄ ＬＭＩ ｌｍｉｔｅｒｍ（［３ １ １ Ｑ］，Ａ１，１， ｓ，）； ｌｍｉｔｅｒｍ（［３ １ １ ＱＪ，Ａ２，１，，ｓ，）； ｌｍｉｔｅｒｍ（［３ １ ｌ ｖ２ｊ，Ｂ１，１，，ｓ，）； ｌｍｉｔｅｒｍ（［３ １ １ Ｖ１］，Ｂ２，１，，ｓ，）； ④ｐ＝ ＞０的方程为 ％Ｆｏｕｒｔｈ ＬＭＩ ｌｍｉｔｅｒｍ（［一４ １ １ Ｑ】，１，１）； ＬＭＩ工具箱提供了３个线性矩阵不等式求解函 数，用于解决可行性问题的求解函数ｆｅａｓｐ，用于解决 具有线性矩阵不等式约束的线性目标函数最小化问 题求解函数ｍｉｎｅｘ和用于广义特征值最小化问题的 求解函数ｇｅｖｐ。针对式（７）可采用ｆｅａｓｐ，程序设计为： ［ｔｍｉｎ，ｆｅａｓｏｌｕｔｉｏｎ］＝ｆｅａｓｐ（ＬＭＩｓ），求解器输出第１个分量 表示ＬＭＩｓ求解的可行性，当ｔａｒｉｎ＜０时，则ＬＭＩｓ的求 解是可行的，此时求解器输出第二个分量ｆｅａｓｏｌｕｔｉｏｎ 给出ＬＭＩｓ决策变量的一个可行解，进而，应用决策变 量转换函数ｄｅｃ２ｍａｔ可得到ＬＭＩｓ矩阵变量的一个可 行解 ４仿真研究 针对倒立摆模型式（６）取ｇ＝９．８，摆的质量ｍ＝２．０， 小车质量Ｍ＝８．０，２／＝１．０。根据倒立摆的运动情况设计 ２条模糊规则： 规则１ ＩＦ １（ ）ｉｓ ａｂｏｕｔ ０，ＴＨＥＮ ｕ＝Ｋｌｘ（ｔ） 规则２ ＩＦ （ ）ｉｓ ａｂｏｕｔ－＋－５一（Ｉ． Ｉ＜ ）， ＴＨＥＮ （ ） 采用ＰＤＣ方法，根据式（４），设计基于Ｔ—Ｓ型的模 糊控制器为Ｕ－－－Ｗｌ（ １）ＫｌＸ（ｔ）＋ｗ２（ １）Ｋ２ｘ（ｔ） 其中Ｗ１＋ｗ２＝１． 图２．Ｓｉｍｕｌｉｎｋ仿真框图 采用ＭＡＴＬＡＢ仿真，其Ｓｉｍｕｌｉｎｋ仿真框图如图２ 所示，根据倒立摆的２条Ｔ—Ｓ模糊模型规则，隶属度 函数按图３设计【 ２１［ ，仿真中采用三角形隶属函数实 现摆角度 （ｔ）的模糊化，如图３和图４所示。首先运 行基于ＬＭＩ的控制器增益求解程序，求解线性矩阵不 等式（７），求得Ｑ，Ｖ ，Ｖ。，从而得到状态反馈增益：Ｋｈ Ｋｚ。然后运行Ｓｉｍｕｌｉｎｋ主程序，仿真结果如图５和图６ 所示【 ４Ｉ ５】。 王效华牛思先：基于Ｉ肌Ｉ的Ｔ—Ｓ模糊控制系统的研究 Ｃ ≥ＱＣ 霉Ｃ ２ ・６５・ 图３．模糊隶属度函数示意图 图４．仿真中模糊隶属度函数 蓍 晏 趸 ； ＝董 ￡ ｔｉｍｅ（ｓ】 图５．角度和速度的响应 ＆ ２ 芒 Ｕ 图６．控制输入 ５ 结论 由ＬＭＩ线性矩阵不等式设计出Ｔ—Ｓ型模糊系统， 在单级倒立摆上进行仿真，其角度和角速度响应较 快，并且鲁棒性强，满足了控制要求。 参考文献： ［１】Ｔａｎａｋａ Ｋ，Ｓｕｇｅｎｏ Ｍ．Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ ｄｅｓｉｇｎ ｏｆ ｆｕｚｚｙ ｃｏｎｔｒｏｌ ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］．Ｆｕｚｚｙ Ｓｅｔｓ Ｓｙｓｔｅｍｓ，１９９２，４５（２）：１３５－１５６． ［２】Ｆａｒｉｎｗａｔａ Ｓ，Ｆｉｌｅｖ Ｄ，Ｌａｎｇａｒｉ Ｒ［Ｍ］．Ｆｕｚｚｙ Ｃｏｎｔｒｏｌ：Ｓｙｎｔｈｅｓｉｓ ａｎｄ Ａｎａｌｙｓｉｓ．Ｊｏｈｎ Ｗｉｌｅｙ＆Ｓｏｎｓ，Ｌｔｄ，２０００． ［３］Ｗａｎｇ Ｈ Ｏ，Ｔａｎａｋａ Ｋ，Ｇｒｉｆｉｎ Ｍ Ｆ．Ｐａｒａｌｌｅｌ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅｄ ｃｏｍｐｅｎｓａｔｉｏｎ ｏｆ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍｓ ｂｙ Ｔａｋａｇｉ—Ｓｕｇｅｎｏ ｆｕｚｚｙ ｍｏｄｅ１．Ｐｒｏｃ［Ｊ］．Ｆｕｚｚｙ—ＩＥＥＥ／ＩＦＥＳ，１９９５（９５）：５３１—５３８． 【４］Ｔａｎａｋａ Ｋ，Ｗａｎｇ Ｈ Ｏ．Ｆｕｚｚｙ Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｓｙｓｔｅｍｓ Ｄｅｓｉｇｎ ａｎｄ Ａｎａｌｙｓｉｓ，Ａ Ｌｉｎｅａｒ Ｍａｔｉｒｘ Ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ Ａｐｐｒｏａｃｈ［Ｍ］．Ｊｏｈｎ Ｗｉｌｅｙ＆Ｓｏｎｓ。Ｉｎｓ，２０００． 【５］俞立．鲁棒控制一线性矩阵不等式处理方法［Ｍ】．北京：清华 大学出版社，２００２． ｆ６］Ｌａｂｉｏｄ Ｓ，Ｂｏｕｃｈｅｆｉｔ Ｍ Ｓ，Ｇｕｅｒｒａ Ｔ Ｍ．Ａｄａｐｔｉｖｅ Ｆｕｚｚｙ ｃｏｎｔｒｏｌ ｆｏ ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ＭＩＭＯ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］．Ｆｕｚｚｙ Ｓｅｔｓ ａｎｄ Ｓｙｓｔｅｍｓ，２００５（１５１）：５９—７７． 【７］王立新，王迎军．模糊系统与模糊控制教程［Ｍ】．北京：清华 大学出版社，２００３． 【８］刘金琨．智能控制［Ｍ】．北京：电子工业出版社，２００５． 【９］王永富，柴天佑，迟瑛，佟绍成．基于观测器的一类非线性系 统的自适应模糊控制［Ｊ］．控制理论与应用，２００５，２２（３）： ３９５－４０１． ［１０】Ｂｏｙｄ Ｓ，Ｇｈａｏｕｉ Ｌ Ｅ，Ｆｅｒｏｎ Ｅ，Ｂａｌａｋｒｉｓｈａｎ Ｖ．Ｌｉｎｅａｒ Ｍａｔｒｉｘ Ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ ｉｎ Ｓｙｓｔｅｍ ａｎｄ Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｔｈｅｏｒｙ［Ｍ】．ＳＩＡＭ Ｐｈｉｌａｄｅｌｐｈｉａ，１９９４． 【１１】Ｚｈａｎｇ Ｔ Ｐ，Ｙｉ Ｙ．Ａｄａｐｔｉｖｅ Ｆｕｚｚｙ Ｃｏｎｔｒｏｌ ｆｏｒ ａ Ｃｌａｓｓ ｏｆ ＭＩＭＯ Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｌｌ Ｕｎｋｎｏｗｎ Ｄｅａｄ－Ｚｏｎｅｓ【Ｊ］． Ａｃｔａ Ａｕｔｏｍａｔｉｃ Ｓｉｎｉｃａ，２００７，３３（１）：９６－１００． ［１２】刘金馄．滑模变结构控制ＭＡＴＬＡＢ仿真［Ｍ］．北京：清华大 学出版社，２００５． ［１３】姜偕富，徐文立．不确定输人时滞系统的滞后相关型鲁棒 Ｈｏｏ控制【ＪＪ．清华大学学报（自然科学版），２００３，４３（７）：９１２－ ９１５． ［１４】Ｔｏｎｇ ｓｈａｏｅｈｅｎｇ．Ｏｂｓｅｒｖｅｒ—ｂａｓｅｄ ｐａｒａｍｅｔｒｉｃ ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｉｅｓ［Ｊ］． Ｆｕｚｚｙ Ｓｅｔｓ ｒｏｂｕｓｔ ｆｕｚｚｙ ｃｏｎｔｒｏｌ ｏｆ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｌｌ ａｎｄ Ｓｙｓｔｅｍｓ．２００２（１３１）：１６５—１８４． ［１５］Ｂｕｃｋｌｅｙ Ｊ Ｊ＇Ｈａｙａｓｈｉ Ｙ．Ｆｕｚｚｙ ｉｎｐｕｔ－ｏｕｔｐｕｔ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒｓ ａｒｅ ｕｎｉｖｅｒｓａｌ ａｐｐｒｏｘｉａｍｔｏｒ［Ｊ】．Ｆｕｚｚｙ Ｓｅｔｓ ａｎｄ Ｓｙｓｔｅｍｓ．１９９３，５６ （３）：２７３—２７８． ・６６・ 武夷学院学报２０１０年第５期 Ｓｔｕｄｙ ｏｎ Ｔ－Ｓ Ｆｕｚｚｙ Ｃ ｏｎｔｒｏｌ Ｓｙｓｔｅｍ Ｂａｓｅｄ ｏｎ ＬＭＩ ＷＡＮＧ Ｘｉａｏｈｕａ ＮＩＵ Ｓｉｘｉａｎ （１．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｗｕｙｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｗｕｙｉｓｈａｎ，Ｆｕｊｉａｎ ３５４３００； ２．Ｊｉｙｕａｎ Ｖｏｃａｔｉｏｎａｌ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｊｉｙｕａｎ，Ｈｅｎａｎ ４５４６５０） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｃｏｎｔｒｏｌ ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｉｅｓ ｏｆ ｃｏｍｐｌｅｘ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍｓ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｖｅｒｔｅｄ ｐｅｎｄｕｌｕｍ ｕｓｉｎｇ Ｔ－Ｓ ｆｕｚｚｙ ｍｏｄｅｌ－ｂａｓｅｄ ｄｅｓｉｇｎ ｏｆ ｉｔｓ ｃｏｎｔｒｏｌ ｓｙｓｔｅｍｓ，ｔｈｅ ｕｓｅ ｏｆ ＬＭＩ ｆｅａｓｉｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｏｐｔｉｍａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｂｔａｉｎｅｄ，ｔｈｅ ｃｏｎｔｒｏｌ ｓｙｓｔｅｍ ｔｏ ｍｅｅｔ ｔｈｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｏｆ ｇｏｏｄ．Ｆｉｎａｌｌｙ ｕｓｉｎｇ ＭＡＴＬＡＢ＇ｓ ＬＭＩ ｔｏｏｌｂｏｘ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ａｎｄ ｃａｒｒｙ ｏｕｔ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｔｅｓｔｓ，ｒｅａｃｈ ａ ｈｉｇｈｅｒ ｃｏｎｔｒｏｌ ｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ＬＭＩ；Ｔ－Ｓ ｆｕｚｚｙ ｍｏｄｅｌ；ｉｎｖｅｒｒｅｄ ｐｅｎｄｕｌｕｍ；ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ