基本不等式(很全面)

基本不等式

【知识框架】

１、基本不等式原始形式 (１)若a,bR，则a2b22ab

a2b2(2)若a,bR，则ab

2２、基本不等式一般形式(均值不等式） 若a,bR*,则ab2ab

３、基本不等式的两个重要变形 （1)若a,bR*，则ab2*ab

2ab

(２）若a,bR，则ab2总结：当两个正数的积为定植时,它们的和有最小值; 当两个正数的和为定植时,它们的积有最小值; 特别说明:以上不等式中，当且仅当ab时取“=”

4、求最值的条件:“一正，二定,三相等” 5、常用结论

12 （当且仅当x1时取“=”） x1(2）若x0，则x2 (当且仅当x1时取“＝”）

x(１)若x0，则x（3）若ab0,则ab2 (当且仅当ab时取“=”）

baab2a2b2(４)若a,bR，则ab()

22(5)若a,bR*，则

abab112ab1a2b2 2--

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特别说明:以上不等式中,当且仅当ab时取“=” 6、柯西不等式

（1)若a,b,c,dR,则(a2b2)(c2d2)(acbd)2 （２）若a1,a2,a3,b1,b2,b3R,则有:

(a12a22a32)(1b12b22b32)(a1b1a2b2a3b3)2

（3)设a1,a2,,an与b1,b2,,bn是两组实数，则有

(a12a22an2)(b12b22bn2)(a1b1a2b2anbn)2

【题型归纳】

题型一:利用基本不等式证明不等式 题目1、设a,b均为正数，证明不等式:

ab≥

211ab

题目2、已知a,b,c为两两不相等的实数，求证:a2b2c2abbcca

题目3、已知abc1,求证:a2b2c2

1 3题目4、已知a,b,cR,且abc1，求证：(1a)(1b)(1c)8abc

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题目5、已知a,b,cR，且abc1,求证:

1111118 abc题目6、（新课标Ⅱ卷数学（理)设a,b,c均为正数,且abc1,证明:

1（Ⅰ）abbcca；

3

a2b2c2 （Ⅱ)1．

bca题型二：利用不等式求函数值域 题目1、求下列函数的值域 （1)y3x2

12x2 (2）yx(4x)

(3）yx

1(x0) x （4）yx1(x0) x题型三：利用不等式求最值 (一)（凑项) 1、已知x2,求函数y2x4

4的最小值；

2x4--

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变式1:已知x2,求函数y2x

4的最小值；

2x4变式２:已知x2,求函数y2x

4的最大值;

2x4变式3：已知x2,求函数y2x

4x的最大值； 2x4练习：１、已知x5，求函数y4x241的最小值; 4x5

题目２、已知x5，求函数y4x24

1的最大值； 4x5题型四：利用不等式求最值 （二)(凑系数) 题目1、当

时,求yx(82x)的最大值；

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变式1:当

时，求y4x(82x)的最大值；

变式2:设0x，求函数y4x(32x)的最大值。

32题目2、若0x2，求yx(63x)的最大值;

变式:若0x4,求yx(82x)的最大值;

题目3、求函数y

152x152x(x)的最大值；

22变式:求函数y

3114x3114x(x)的最大值;

44--

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题型五：巧用“1”的代换求最值问题 题目1、已知a,b0,a2b1,求t

11的最小值; ab变式1：已知a,b0,a2b2，求t

11的最小值; ab变式2:已知x,y0,

281，求xy的最小值； xy变式3:已知x,y0,且9,求xy的最小值。

1x1y变式4:已知x,y0，且

194，求xy的最小值; xy变式5：

(１）若x,y0且2xy1,求

11的最小值; xy--

--

(２)若a,b,x,yR且ab1，求xy的最小值;

xy

变式6：已知正项等比数列an满足:a7a62a5,若存在两项am,an，使得

aman4a1,求

14的最小值; mn变式7:若正数x，y满足x+3y＝5，则3x＋4y的最小值是（ ） C.５ D．６

变式8:设a0,b0.若4113是3a与3b的等比中项，则的最小值为

ab( ）．

Ａ．1 Ｂ.1 C．４ D.８

变式９:已知ab0，且ab2,则

21的最小值为 a3bab

变式

a2b210:已知0x1，a0，b0,求y的最小值.

x1x变式1１:求

183(0x)的最小值 2x32x2变式12:已知(0,2)，求函数f()14sin2cos2的最小值

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变式13:设正实数a,b 满足ab2,则1a的最小值为 .

a8b

变式１4：【2０13天津理】设a + b ＝ 2， ｂ>0, 则当a ＝ 时,

1|a|取得最小值． 2|a|b

变式１５:设a0,b1 满足ab2,则

a1的最小值为 b1a .

变式１6:已知a,bR且2ab1,则

14a2b2的最小值是 ．

题型六:分离换元法求最值(了解） 题目

x27x10(x1)的值域； 1、求函数yx1x28(x1)的值域； 变式：求函数yx1

题目２、求函数y

x22x5的最大值;

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变式：求函数y

x1的最大值；

4x9题型七：基本不等式的综合应用

题目1、已知log2alog2b1，求3a9b的最小值

题目2、已知a,b0,求112abab的最小值;

变式1：（2010四川)如果ab0，求关于a,b的表达式a2值;

11的最小aba(ab)变式2：(２012湖北武汉诊断）已知，当a0,a1时,函数yloga(x1)1的图像恒过定点A，若点A在直线mxyn0上,求4m2n的最小值;

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变式３：【２017

a44b41天津】若a,bR,ab0，则的最小值为

ab

题目3、已知x,y0,x2y2xy8，求x2y最小值;

变式1:已知a,b0,满足abab3，求ab范围；

变式2：已知x,y0,

111，求xy最大值；（提示:通分或三角换元) 2x2y3变式3:已知x,y0，x2y2xy1,求xy最大值;

题目4、(２０1３年山东（理））设正实数x,y,z满足x23xy4y2z0,则当

取得最大值时，

212的最大值为( ） xyzxyz( ）

A．0 Ｂ.1 C. D.3

94--

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变式:设x,y,z是正数,满足x2y3z0，求

y2xz的最小值;

题型八：利用基本不等式求参数范围 题目1、已知x,y0，且(xy)(

1a)9恒成立，求正实数a的最小值; xy2、已知xyz0且考:4）

11nxyyzxz恒成立，如果nN,求n的最大值;(参

变式:已知a,b0满则

142，若abc恒成立,求c的取值范围; ab--

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题型九:利用柯西不等式求最值 1、二维柯西不等式

(a,b,c,dR,当且仅当abcd；即adbc时等号成立) 若

a,b,c,dR,(a2b2)(c2d2)(acbd)2

2、二维形式的柯西不等式的变式

(1)a2b2c2d2acbd

(a,b,c,dR,当且仅当abcd；即adbc时等号成立)

(2)a2b2c2d2acbd(a,b,c,dR,当且仅当abcd；即adbc时等号成立)

(3)(ab)(cd)(acbd)2

(a,b,c,d0,当且仅当abcd；即adbc时等号成立)

3、二维形式的柯西不等式的向量形式



(当且仅当0,或存在实数k,使ak时,等号成立)

4、三维柯西不等式

若a1,a2,a3,b1,b2,b3R，则有:

(a21a22a223)(1b1b22b23)(a1b1a2b2a3b3)2

(ai,biR,当且仅当a1a2a3b时等号成立) 1b2b3５、一般n维柯西不等式

设a1,a2,,an与b1,b2,,bn是两组实数，则有:

(a21a22a2n)(b21b22b2n)(a1b1a2b2anbn)2

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则

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(ai,biR,当且仅当aa1a2n时等号成立) b1b2bn【题型归纳】

题型一:利用柯西不等式一般形式求最值

题目1、设x,y,zR，若x2y2z24,则x2y2z的最小值为 时，

(x,y,z)

析:(x2y2z)2(x2y2z2)[12(2)222]

4936

∴x2y2z最小值为6 此时

xyz624242yxz ﻫ∴ ,, 1221(2)2223333题目２、设x,y,zR，2xy2z6，求x2y2z2的最小值m,并求此时x,y,z之值。

424Ans:m4;(x,y,z)(,,)

333

题目3、设

x,y,zR,

2x3yz3，求

x2(y1)2z2之最小值

为 ,此时y （析:2x3yz32x3(y1)z0)

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题目4、已知

a,b,c,a2b3c6,则

a24b29c2的最小值是

(Ans:12)

题目5、设x,y,zR,且满足:x2y2z21,x2y3z

14,求xyz的值;

题目６、求2sin为22，最小值为

3cossincoscos 的最大值与最小值。(Ans：最大值

22） 3

析:令a (2,， )，b (1，，)

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