运动学习题1

1-1 ｜r｜与r 有无不同?

drdrdvdv和有无不同? 和有无不同?其不同在哪里?dtdtdtdt试举例说明．

解：（1）

r是位移的模，r是位矢的模的增量，即rr2r1，rr2r1；

（2）

dsdrdr是速度的模，即. vdtdtdtdr只是速度在径向上的分量. dtˆ（式中rˆ叫做单位矢）∵有rrr，则

式中

ˆdrdrdrˆrr

dtdtdtdr就是速度径向上的分量， dt∴

drdr与不同如题1-1图所示. dtdt题1-1图

dvdvdv (3)表示加速度的模，即a，是加速度a在切向上的分量.

dtdtdt∵有vv(表轨道节线方向单位矢），所以

dvdvdv dtdtdtdv就是加速度的切向分量. dtˆdˆdr与(的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论) dtdt式中

1-2 设质点的运动方程为x=x(t)，y=y(t)，在计算质点的速度和加速度时，有人先求

drd2r出r＝xy，然后根据v =，及a＝2而求得结果；又有人先计算速度和加速度

dtdt22的分量，再合成求得结果，即

dxdy=及a=

dtdt22d2xd2ydt2dt2 你认为两种方法哪一种22正确？为什么？两者差别何在？

解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有rxiyj，

drdxdyvijdtdtdt 222drdxdya22i2jdtdtdt故它们的模即为

dxdyvvvdtdt2x2y2222dxdy22aaxaydt2dt222

而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作

drvdtd2ra2

dtdrdrd2r与2误作速度与加速度的模。在1-1题中已说明不是速度的模，其二，可能是将

dtdtdtd2r而只是速度在径向上的分量，同样，2也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中

dt2d2rd的一部分a径2r或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢r在径向（即。

dtdt量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢r及速度v的方向随间的变化率对速度、加速

度的贡献。

1-3 一质点在xOy平面上运动，运动方程为

x=3t+5, y=

12

t+3t-4. 2式中t以 s计，x,y以m计．(1)以时间t为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出t=1 s 时刻和t＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算t＝0 s时刻到t＝4s时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算t＝4 s 时质点的速度；(5)计算t＝0s 到t＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t＝4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)．

12解：（1） r(3t5)i(t3t4)jm

2(2)将t1,t2代入上式即有

r18i0.5j m

r211j4jm rr2r13j4.5jm

(3)∵ r05j4j,r417i16j

rr4r012i20j3i5jms1 ∴ vt404dr3i(t3)jms1 (4) vdt1则 v43i7j ms

(5)∵ v03i3j,v43i7j

vv4v04a1jms2

t44dv1jms2 (6) adt这说明该点只有y方向的加速度，且为恒量。

1-4 在离水面高h米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S处，如题1-4图所示．当人以

v0(m·s1)的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小．

图1-4

解： 设人到船之间绳的长度为l，此时绳与水面成角，由图可知 lhs

将上式对时间t求导，得

222 2ldlds2s dtdt 题1-4图

根据速度的定义，并注意到l,s是随t减少的， ∴ v绳即 v船dldsv0,v船 dtdtvdsldllv00 dtsdtscoslv0(h2s2)1/2v0或 v船 ss将v船再对t求导，即得船的加速度

dldsldvv0slv船a船dt2dtv0v02dtss 2l2(s)v022hv0ss2s3s1-5 质点沿x轴运动，其加速度和位置的关系为 a＝2+6x，a的单位为ms，x的单位为 m. 质点在x＝0处，速度为10ms,试求质点在任何坐标处的速度值． 解： ∵ a122dvdvdxdvv dtdxdtdx2分离变量： dadx(26x)dx 两边积分得

12v2x2x3c 2由题知，x0时，v010,∴c50

∴ v2x3x25ms1

1-6 已知一质点作直线运动，其加速度为 a＝4+3t ms，开始运动时，x＝5 m，v =0，求该质点在t＝10s 时的速度和位置． 解：∵ a2dv43t dt分离变量，得 dv(43t)dt 积分，得 3v4tt2c1

2由题知，t0,v00 ,∴c10

32t 2dx34tt2 又因为 vdt232分离变量， dx(4tt)dt

2132积分得 x2ttc2

2故 v4t由题知 t0,x05 ,∴c25 故 x2t所以t10s时

213t5 2v104103102190ms12

1x1021021035705m23式中以弧度计，t以秒计，1-7 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为 =2+3t，

求：(1) t＝2 s时，质点的切向和法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成45°角时，

其角位移是多少?

解： dd9t2,18t dtdt

(1)t2s时， aR118236ms2

anR21(922)21296ms2

(2)当加速度方向与半径成45角时，有

οtan452a1 an即 RR 亦即 (9t)18t 则解得 t于是角位移为

3222 922.679rad

23t3231-8 质点沿半径为R的圆周按s＝v0t12bt的规律运动，式中s为质点离圆周上某点的弧2长,v0，b都是常量，求：(1)t时刻质点的加速度；(2) t为何值时，加速度在数值上等于b． 解：（1） vdsv0bt dtdvbdt 22(vbt)van0RRa(v0bt)4则 aaab

R222n2加速度与半径的夹角为

arctan(2)由题意应有

aRb 2an(v0bt)(v0bt)4 abbR22(v0bt)4,(v0bt)40 即 bb2R22∴当tv0时，ab b1-9 半径为R的轮子，以匀速v0沿水平线向前滚动：(1)证明轮缘上任意点B的运动方程为

x＝R(tsint)，y＝R(1cost)，式中v0/R是轮子滚动的角速度，当B与

水平线接触的瞬间开始计时．此时B所在的位置为原点，轮子前进方向为x轴正方向；(2)求B点速度和加速度的分量表示式．

解：依题意作出下图，由图可知

题1-9图 (1)

xv0t2Rsinv0tRsin2cos2R(tRsint)

y2Rsin 22R(1cos)R(1cost)sin(2)

dxvR(1cost)xdt vdyRsint)ydtdvx2aRsintxdt aR2costdvyydt1-10 以初速度v0＝20ms抛出一小球，抛出方向与水平面成幔 60°的夹角，

求：(1)球轨道最高点的曲率半径R1；(2)落地处的曲率半径R2． (提示：利用曲率半径与法向加速度之间的关系)

1

解：设小球所作抛物线轨道如题1-10图所示．

题1-10图 (1)在最高点，

v1vxv0cos60o an1g10ms2

又∵ an1v121

v12(20cos60)21an110∴

10m(2)在落地点，

v2v020ms1,

而 an2gcos60o

2v2(20)2∴ 280m

an210cos601-11 飞轮半径为0.4 m，自静止启动，其角加速度为β= 0.2 rad·s，求t＝2s时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度． 解：当t2s时，t0.220.4 rads

1则vR0.40.40.16ms

12

anR20.4(0.4)20.064ms2 aR0.40.20.08ms2

2aana2(0.064)2(0.08)20.102ms2

1-12 如题1-12图，物体A以相对B的速度v＝2gy沿斜面滑动，y为纵坐标，开始时

A在斜面顶端高为h处，B物体以u匀速向右运动，求A物滑到地面时的速度．

解：当滑至斜面底时，yh，则vA因此，A对地的速度为

2gh,A物运动过程中又受到B的牵连运动影响，

'vA地uvA

(u2ghcos)i(2ghsin)j

题1-12图

1-13## 一船以速率v1＝30km·h沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率v2＝40km·h

-1

-1

沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为何?在艇上看船的速度又为何? 解：(1)大船看小艇，则有v21v2v1，依题意作速度矢量图如题1-13图(a)



题1-13图

由图可知 v212v12v250kmh1

方向北偏西 arctanv13arctan36.87 v24(2)小船看大船，则有v12v1v2，依题意作出速度矢量图如题1-13图(b)，同上法，得

v1250kmh1

方向南偏东36.87

1-14## 当一轮船在雨中航行时，它的雨篷遮着篷的垂直投影后2 m的甲板上，篷高4 m 但当

-1

轮船停航时，甲板上干湿两部分的分界线却在篷前3 m ，如雨滴的速度大小为8 m·s，求轮船的速率．

解： 依题意作出矢量图如题1-14所示．

o

题1-14图

∵ v雨船v雨v船 ∴ v雨v雨船v船 由图中比例关系可知

v船v雨8ms1