ＳＹＳ ＰＲＡＣＴＩＣＥ 系统实践 Ｈｉｌｂｅｒｔ—Ｈｕａｎｇ变换在非平稳信号处理中的应用 ◆唐忠平 摘要：Ｈｉｌｂｅｒｔ—Ｈｕａｎｇ变换方法是最新发展起来的处理非线性非平稳信号的时频分析方法。Ｈｉｌｂｅｒｔ— Ｈｕａｎｇ变换在处理非平稳信号时，将给定的信号利用ＥＭＤ方法分解为若干固有模态函数ＩＭＦ，通过Ｈｉｌｂｅｒｔ变 换每一个ＩＭＦ，可以得到变化后的Ｈｉｌｂｅｒｔ谱，最后汇总所有ＩＭＦ的Ｈｉｌｂｅｒｔ谱就会得到原始信号的Ｈｉｌｂｅｒｔ谱。 本文通过仿真实例详尽地阐述了Ｈｉｌｂｅｒｔ—Ｈｕａｎｇ＇￣Ｊｇｅ在非平稳信号处理的过程。 关键词：Ｈｉｌｂｅｒｔ—Ｈｕａｎｇ变换；非平稳信号；固有模态函数ＩＭＦ 引言 由于在现实中存在着大量的非平稳信号，因此针对非 平稳信号的处理与分析一直是信号处理领域里的一个研究热 点。在目前的非平稳信号处理方法￣Ｗｉｇｎｅｒ－Ｖｉｌｔｙ分布、小波 变换等典型方法已经得到了很广泛的应用，不过也存在一定 的局限性，其中Ｗｉｇｎｅｒ．Ｖｉｌｌｙ分布由于是二次型时频表示， 对于多分量信号，存在交叉项干扰。小波变换对时频面是 一种机械的格型分解，所以无自适应性。正是在这样的背景 下，美国华裔科学家Ｎｏｒｄｅｎ Ｅ Ｈｕａｎｇ￣１９９８年提出了Ｈｉｌｂｅｒｔ． Ｈｕａｎｇ变换（ＨＨＴ）：一种新型的非线性非稳态信号处理方 法。ＨＨＴ方法从信号自身特征出发，原有信号用经验模态分 解（ＥＭＤ）方法分解成一系列的本征模态函数（ＩＭＦ），通 过Ｈｉｌｂｅｒｔ变换这些ＩＭＦ分量，可以得到时频平面上能量分布 的Ｈｉｌｂｅｒｔ谱图，这样避免了测不准原理的限制，可以准确地 表达信号在时频面上的各类信息。 一、Ｈｉｌｂｅｒｔ—Ｈｕａｎｇ变换 Ｈｉｌｂｅｒｔ．Ｈｕａｎｇ变换由两部分组成：经验模态分解ＥＭＤ和 希尔伯特谱分析（Ｈｉｌｂｅｒｔ Ｓｐｅｃｔｒｕｍ Ａｎａｌｙｓｉｓ，简称为ＨＡＳ）。 １．１经验模态分解（ＥＭＤ）方法。经验模态分解往往被称 为是一个“筛选”过程。这个筛选过程依据信号特点自适 应地把任意一个复杂信号分解为－－ＹＵ本征模态函数（Ｉｎｔｒｉｎｓｉｃ Ｍｏｄｅ Ｆｕｎｃｔｉｏｎ，ＩＭＦ）。ＩＭＦ需要满足两个条件：（１）信号 极值点的数量与零点数相等或相差１个；（２）信号的由极大 值定义的上包络和由极小值定义的下包络的局部均值为零。 ＥＭＤ“筛选”过程如下：（１）找出原始信号 （ｆ）的 所有局部极大值点和局部极小值点。（２）采用三次样条 函数插值法拟合出极大值包络 …（ｆ）和极小值包络ｘ…（ ）， 计算极大值包络线Ｘ…（ｆ）和极小值包络线Ｘ…（ｆ）的平均值， 获得瞬时平均值ｘ （ｆ）：ｍ。（ｆ）＝ ｆｍａ （ｆ）＋ ｍｍ（ｆ）】／２。（３）考察 矗（ｆ）＝ （ｆ）一ｍ．（ｆ）是否满足ＩＭＦ的两个条件，如果满足则转 到下一步，否则对ｈ （ｆ）进行前两步操作，得到均值包络线 ｍ （ｆ），进而得到：啊 （ｆ）＝ （ｆ）一ｍ。 （ｆ）。依次下去，直到第 步 （ｆ）满足ＩＭＦ条件，则 （ ）＝ （ｔ），Ｃ１（ ）即为分解出来 的第一阶圊有模态函数。（４）ｘ（ｆ）一Ｃ１（ ）＝ （ｆ）得到第一个 残差ｒ，（ｆ），将， （ｆ）看作原始信号重复上述步骤（１）一（４），得到 ３４ 信息系统工程Ｉ ２０１４ ７ ２Ｏ ｒ （Ｄ。以此类推，直到残差 （ 变成单调函数或是常数为止。 因此，原始信号ｘ（ 可以表示成如下形式： （ｆ）＝∑ｃｊ（ｆ）＋ （ｆ） （１） １．２ Ｈｉｌｂｅｒｔｉ￣分析。设ＩＭＦ分量为ｅｊ（ｔ），对经验模态分解 后的每一个固有模态函数（ＩＭＦ）作希尔伯特变换如下式： ）］ Ｅ （２） 式（２）中 表示柯西主值（Ｃａｕｃｈｙ Ｐｒｉｎｃｉｐａｌ Ｖａｌｕｅ）， 定义ｃ，（ 的解析信号为： （ｆ）］＝ （ｆ）＋ ［ （ｆ）］＝ （ｆ）Ｐ ‘ （３） 其中，ａｓ（ｔ）：｛Ｃ， （ｆ）＋Ｈ ［ｃ ）］｝ ， Ｏ ），、… ：ａｒｃｔａｎ— Ｈ （ｆ）］ 【ｆ） ａｊ（ｔ）为幅值函数，表示信号每个采样点的瞬时幅度能 量；Ｏｊ（ｔ）为相位函数，表示信号每个采样点的瞬时相位，对 其求导就得到瞬时频率： ∞ １：—ｄＯｊ（ｔ） （４） —由上可知，每一个ＩＭＦ可以表示如下： ｃａｔ）＝Ｒｅ［口，（咖 １］＝Ｒｅ［ａｊ（ｔ）ｅｉ 】（５） ｘ（ 对原始信号作整体的Ｈｉｌｂｅｒｔ￣分析，时频平面上ｘ（ 可以表示如下： （ｆ）：Ｒｅ （ｆ）ｅ （６） Ｊ：１ 从原始信号ｘ（ 在时频平面上的表示可知，ｘ（ｆ）的幅值和 频率都是关于时间的函数。因此，把幅值和瞬时频率随时间 的变化在一个三维图中表示出来，即把幅值显示在时间．频率 平面上，形成Ｈｉｌｂｅｒｔ幅值谱，简称Ｈｉｌｂｅｒｔｉ￣，记为 ∞，Ｏ。 希尔伯特谱／４（∞，ｆ）对时间积分，还可以定义希尔伯特 边际谱 ），如下： （０））＝【 ，ｔ）ｄｔ （７） 式（７）表示了每个频率点在全局上的幅度（或能量）分 布，即信号瞬时频率∞总幅值的大小。 二、仿真研究 以两个频率分别为１０Ｈｚ、５０Ｈｚ余弦信号叠加而成的模