第２２卷第３期 哈尔滨理工大学学报 ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＨＡＲＢＩＮ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ ＯＦ ＳＣＩＥＮＣＥ ＡＮＤ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ ＶｏＬ ２２ Ｎｏ．３ ２０１７年６月 Ｊｕｎ．２０１７ Ｂａｎａｃｈ空间中有界闭凸集有唯 一兀 备化集的条件 计东海， 高月洁 （哈尔滨理工大学应用科学学院，黑龙江哈尔滨１５００８０） 摘 要：为了研究实Ｂａｎａｃｈ空间中有界闭凸集有唯一完备化集的条件，总结了这一方面的已 知结果。在此基础上，给出了Ｂａｎａｃｈ空间中有界闭凸集有唯一完备化集的几个充要条件和一个充 分条件。拓展了（Ｋ，Ｕ）一完备集的定义，并讨论在实Ｂａｎａｃｈ空间中此概念与唯一完备化集的 关系。 关键词：（Ｋ，“）一完备集；完备化集；有界闭凸集 ＤＯＩ：１０．１５９３８／ｊ．ｊｈｕｓｔ．２０１７．０３．０２２ 中图分类号：Ｏ１８９．１ｌ 文献标志码：Ａ 文章编号：１００７－２６８３（２０１７）０３－０１２１—０６ Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｆｏｒ Ｂｏｕｎｄｅｄ ＣＩｏｓｅｄ ａｎｄ Ｃｏｎｖｅｘ Ｓｅｔｓ ｔｏ Ｈａｖｅ ａ Ｕｎｉｑｕｅ Ｃｏｍｐｌｅｔｉｏｎ ｉｎ Ｂａｎａｃｈ Ｓｐａｃｅｓ Ｊ／Ｄｏｎｇ—ｈａｉ， ＧＡＯ Ｙｕｅ－ｉｆｅ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，Ｈａｒｂｉｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｈａｒｂｉｎ １５００８０，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｓｔｕｄｙ ｔｈｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｂｏｕｎｄｅｄ ｃｌｏｓｅｄ ａｎｄ ｃｏｎｖｅｘ ｓｅｔｓ ｔｏ ｈａｖｅ ａ ｕｎｉｑｕｅ ｃｏｍｐｌｅｔｉｏｎ ｉｎ ｒｅａｌ Ｂａｎａｃｈ ｓｐａｃｅｓ，ｋｎｏｗｎ ｒｅｓｕｌｔｓ ｉｎ ｔｈｉｓ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ ａｒｅ ｓｕｍｍａｒｉｚｅｄ．Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｉｓ，ａ ｓｕｆｉｆｃｉｅｎｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ａｓ ｗｅｌｌ ａｓ ｓｏｍｅ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ａｎｄ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｂｏｕｎｄｅｄ ｃｌｏｓｅｄ ａｎｄ ｃｏｎｖｅｘ ｓｅｔｓ ｔｏ ｈａｖｅ ａ ｕｎｉｑｕｅ ｃｏｍｐｌｅｔｉｏｎ ａｒｅ ｐｒｏｖｉｄｅｄ．Ｔｈｅ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ（Ｋ， ）一ｃｏｍｐｌｅｔｅｎｅｓｓ ｉｓ ｅｘｔｅｎｄｅｄ，ａｎｄ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｉｓ ｎｏｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ ｏｆ ｃｏｍｐｌｅｔｉｏｎ ｉｎ ｒｅａｌ Ｂａｎａｃｈ ｓｐａｃｅｓ ｉｓ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：（Ｋ，Ｍ）一ｃｏｍｐｌｅｔｅｎｅｓｓ；ｃｏｍｐｌｅｔｉｏｎ ｏｆ ｓｅｔｓ；ｂｏｕｎｄｅｄ ｃｌｏｓｅｄ ａｎｄ ｃｏｎｖｅｘ ｓｅｔｓ ６（Ｍ）＝ｓｕｐ｛ｌ —Ｙ ｌｌＩ： ，Ｙ∈Ｍ｝ １ 预备知识 令 是一个实Ｂａｎａｃｈ空间，我们分别用Ｏ和 表示其原点和其单位球。对任意的 ∈ ，ｙ＞０， 我们用 （ ，７）＝ＴＢ ＋ 表示 的直径。我们用ｉｎｔＭ、ｃｏｎｖＭ、ｂｄＭ和ｒｉＭ分 别表示Ｍ的内部、凸包、边界和相对内部。 对任意不同的两点 ，Ｙ，我们用［ ，Ｙ］，［ ，Ｙ ＞和＜ ，，，＞分别表示两点之问的线段，从点 出 发过Ｙ的射线和过点 和Ｙ的直线。 令 是 中的任意一个有界集。若对任意的 ∈Ｘ＼Ｍ，都有 表示以 为球心，以 为半径的球。 若Ｍ是 中的任意一个有界集，我们用 收稿日期：２０１５—１０—１６ ６（ＭＵ｛ ｝）＞６（ ） 基金项目：国家自然科学基金（１１５７１０８５，１１１７１０８２）． 作者简介：计东海（１９６４一），男，教授，硕士研究生导师，Ｅ—ｍａｉｌ：ｊｉｄｏｎｇｈａｉ＠１２６．ｃｏｎ 高月洁（１９８６一），女，硕士研究生。 １２２ 哈尔滨理工大学学报 第２２卷 则我们称 是 中一个完备集 Ｊ。 若眠是 中的一个完备集，并且满足 Ｍｏ， （Ｍ）＝６（Ｍｏ） 则我们称 是 的一个完备化集。 若 是 中一个非空有界闭凸集，则我们称Ｋ 是一个凸体。若 是 中的一个凸体，并且满足 Ｋ ，６（Ｋ）＝６（Ｋｏ） 则我们称 是Ｋ的一个紧覆盖。 下面，我们用Ｈ表示 中至少包含两点的凸 体的全体。我们用ＵＣ表示Ｈ中有唯一完备化集的 集合的全体。 ２ 唯一完备化集和宽球包与紧球包 令Ａ是Ｂａｎａｅｈ空间 中的一个有界集，集合 叼（ ）＝ｎＢ（ ， （Ａ）） 称为Ａ的宽球包；集合 ｏ（ａ）＝ｎ Ｂ（ ， （Ａ）） 称为Ａ的紧球包。 对任意的非空集Ｆ 叼（ ），我们定义 算子 ， 加 叼（Ｆ，６（ａ））＝ ｎ ｏｔ￣（ ， ８（ａ ））和 （Ｆ， （Ａ））＝ （ｎ（ ，６（Ａ）） Ｅ日～，．ｏ ＾ Ｊ，．６（Ａ）） 由文［１１］可知 ｎ（ａ）＝｛Ｙ∈ ：ｌＩ 一Ｙ ｌｌ 占（Ａ），Ｖ ∈Ａ｝ 由文［１２—１７］有如下结论： １）７７（Ａ），０（Ａ）均为凸体； ２）Ａ ｏ（ａ）Ｃ＿Ａ 叼（Ａ），其中Ａ。为Ａ的任一 完备化集； ３）ｎ（Ａ）和ｏ（ａ）分别表示 的所有完备化集的 并集和交集； ４） （Ａ）＝ （０（Ａ）） （叼（Ａ））； ５）若Ａ。Ｃ＿Ａ２，并且 （Ａ１）＝８（ａ：），则ｎ（Ａ：） （Ａ。），ｏ（ａ ） ０（Ａ ）。 由文［１６］，［１８］和［１９］可知 引理１ 令Ｘ是一个实Ｂａｎａｃｈ空间，Ａ∈Ｈ。 下列命题等价： Ａ∈ＵＣ： 叼（４）＝０（Ａ）； ｏ（ａ）是一个完备集； ｏ（ａ）＝ｒｌ（Ｏ（Ａ））； 叼（Ａ）是一个完备集； ６）叼（Ａ）＝叼（ （Ａ），６（Ａ））； ７）６（ （Ａ））＝６（Ａ）。 定理１令 是一个实Ｂａｎａｃｈ空间，Ａ∈Ｉｔ．Ａ ∈ＵＣ当且仅当存在非空集Ｆ∈Ａ，使得０（Ａ）＝ｒｌ （Ｆ，６（Ａ））。 证明：假设Ａ∈ＵＣ，由引理１，我们有ｏ（ａ）＝ｒｌ （ ）。令Ｆ＝Ａ，则 ｏ（ａ）＝ｒｌ（Ａ）＝７１（Ｆ， （Ａ）） 下面假设存在非空集ＦＣＡ，使得ｏ（ａ）＝７７（Ｆ， ６（ａ））。因为ＦＣ＿Ａ，由文［９］（ｅ），我们有 叼（Ａ） 叩（Ｆ，６（Ａ）） 所以，我们有 ’７（Ａ） 叼（Ｆ，６（Ａ））＝０（Ａ） 叼（Ａ） 这说明ｏ（ａ）＝叼（ ）。由弓Ｉ理１，Ａ∈ＵＣ。 定理２令 是一个实Ｂａｎａｃｈ空间，Ａ∈Ｈ。Ａ ∈ＵＣ当且仅当存在非空集Ｆ ，使得叼（Ａ）＝０ （Ｆ， （Ａ））。 证明：假设Ａ∈ＵＣ。由引理１， （Ａ）＝ｒｌ（Ａ）。令Ｆ ＝Ａ，则 （Ａ）： （Ｆ， （Ａ）） 下面假设存在非空集ＦＣ＿Ａ，使得 （ ）＝０（Ｆ， ６（ａ））。因为Ｆ ，由文［９］（Ｊｉ｝），我们有０（Ｆ， （Ａ）） （Ａ）。所以，我们有 叼（Ａ）＝ （Ｆ，６（Ａ）） （Ａ） ｒｌ（Ａ） 这说明ｏ（ａ）：７１（Ａ）。由引理１，Ａ匹ＵＣ。 命题１令 是一个实Ｂａｎａｅｈ空间，Ａ∈Ｈ。Ａ ∈ＵＣ当且仅当４的任意一个紧覆盖都含于Ｏ（Ａ）。 证明：下面证明叼（Ａ）是Ａ的所有紧覆盖的并集。 不妨假设Ｃ表示Ａ的所有紧覆盖的并集。令Ｄ 是Ａ的任意一个紧覆盖。对任意的ｙ∈Ｄ及任意的 ∈Ａ，有Ｉ ｌ一 ｌ ｌ（Ａ）。贝０ Ｄ 叩（Ａ）。因此，Ｃ ｎ（ａ）。 令Ａ。是Ａ的任意一个完备化集，那么Ａ。是Ａ 的一个紧覆盖。从而Ａ Ｃ。因为叼（Ａ）表示 的完 备化集的并集，所以卵（Ａ） Ｃ。 因此，卵（Ａ）＝Ｃ，即卵（Ａ）是Ａ的所有紧覆盖 的并集。 由引理１，Ａ∈ＵＣ 铮 （Ａ）＝０（Ａ） 甘 （Ａ）是Ａ的所有紧覆盖的并集 铸Ａ的任意一个紧覆盖都含于口（Ａ）。 ３ 完备化集的唯一性和半径函数 令 是二个实Ｂａｎａｅｈ空间，Ｍ∈Ｈ， 第３期 计东海等：Ｂａｎａｅｈ空间中有界闭凸集有唯一完备化集的条件 １２３ （Ｍ， ）＝ｓｕｐ｛ｌ ｌ—Ｙ ｌｌ：ｙ∈Ｍ｝，Ｖ ∈Ｘ （ ）＝ｉｎｆ｛ （Ｍ， ）： ∈Ｘ｝ （Ｍ，Ｍ）＝ｉｎｆ｛ （Ｍ， ）： ∈ ｝ （Ｍ， ）＝ｉｎｆ｛ｌ ｌ—ｙ ｌｌ：ｙ隹Ｍ｝ （ ）＝ｓｕｐ｛ｙ （Ｍ， ）： ∈Ｍ｝ （Ｍ）， （Ｍ，Ｍ）和 （Ｍ）分别称为 的半径 函数，自半径函数和内半径函数。 下面将用到如下事实：若非空集Ｆ Ａ ，则 对所有的 ∈Ｘ，有 ｙ（Ｆ， ）≤ （Ａ， ） 不难证明对于任意凸体Ａ ，有 ｙ（４， ）＝ｙ（ｂｄＡ， ） 定理３令 是一个Ｂａｎａｃｈ空间，Ａ∈Ｈ。则Ａ ∈ＵＣ与下列任一条件等价： １）对所有的 Ｅ ｂｄ０（Ａ），有 ７（０（Ａ）， ）＝６（ （Ａ）） ２）对所有的 ∈ｂｄ０（Ａ），有 （ｂｄ０（Ａ）， ）＝６（叼（Ａ）） ３）存在 ∈０（Ａ），使得 ｙ（Ｏ（Ａ）， ）＝ （叩（Ａ）） ４）对任意的 ∈叼（Ａ），有 ｙ（叼（Ａ）， ）≤６（ ） ５）对任意的 ∈ｂｄｎ（ａ），有 （７７（Ａ）， ）＝ （Ａ） 证明：Ａ∈ＵＣｊ１）。假设Ａ∈ＵＣｏ由引理１，０（Ａ） ＝叼（Ａ）是一个完备集。由文［２０］的命题１，对所有 的 ∈ｂｄ０（Ａ），我们有 （ｏ（ａ）， ）：６（０（Ａ））＝６（ｎ（ａ）） 因此，１）成立。 １） ２）。假设１）成立。因为对任意的 ∈ｂｄ０ （Ａ），我们有 ｙ（ｏ（ａ）， ）＝ （ｂｄ０（ａ）， ） 因此，２）成立。 ２）ｊ３）。显然成立。 ３）ｊ４）。假设３）成立。因为 。∈０（Ａ），我 们有 ６（ ）≤６（叼（Ａ））＝ （ｏ（ａ）， 。）≤６（ｏ（ａ）） 所以６（ ）＝６（＇７（ ））。从而对任意的 ∈＇７（Ａ），我 们有 ｙ（叼（Ａ）， ）≤６（卵（Ａ））＝ （Ａ） ４）＝＝＞５）。否则，存在 ∈６咖（Ａ），使得 （叼（Ａ）， ）＜６（Ａ）。令 ＝６（Ａ）一 （ｎ（Ａ）， ）＞０ 对任意的Ｙ∈Ａ和对任意的 ∈Ｂ （ ， ），我们有 ｌ ｌ—Ｙ ｌＩ≤ｌｌ — ｌｌ＋ｌ ｌ一Ｙ ｌｌ ≤ｙ＋ （Ａ， ） ≤艿（Ａ）一 （叼（Ａ）， ）＋ｙ（叩（Ａ）， ） ＝６（Ａ） 则ｚ∈７７（Ａ），这说明 （ ， ） ，７（４），从而 ∈ ｉｎｔ￣（Ａ），这与 ∈ｂｄ￣（Ａ）矛盾。因此，５）成立。 ５）ｊＡ∈ＵＣ。假设５）成立。因为 ６（ｎ（ａ））＝ｓｕｐ｛ｙ（叼（Ａ）， ）： ∈ｂｄ￣（ａ）｝ 我们有 ６（４）≤６（田（Ａ））≤６（Ａ） 故６（Ａ）＝６（叼（Ａ））。由弓Ｉ理２．１，Ａ∈ＵＣ。 命题２令 是一个Ｂａｎａｃｈ空间，Ａ∈Ｈ。若 存在 。∈Ａ，使得 （４， 。）＝６（叼（Ａ）），贝０Ａ∈ＵＣ。 证明：若存在 。∈Ａ，使得 ｙ（ａ， ｏ）＝ （叼（Ａ）） 则我们有 ６（叼（４））＝ｙ（ａ， ０）≤６（ ） 因为６（ ）≤６（田（Ａ）），我们有 ６（Ａ）＝６（ｎ（ａ）） 由引理１，Ａ∈ＵＣ。 通过下面一个例子，命题２的逆命题不一定 成立。 例１令 ＝ｃ 表示以０为极限的实数列的全 体，并在 中赋予范数 ∞ｌ ｌ 『Ｉ＝ ，Ｖ ＝（ ， ：…．， …．）∈Ｘ 令Ａ＝｛ ∈ ：ｌ ｌ≤ｌ，Ｖ ∈Ｎ＋｝。 首先我们有６（Ａ）＝２。 对任意的 ＝（ ， …．， ……）∈Ａ和Ｙ＝ （Ｙｌ，Ｙ２，…，Ｙ …）∈Ａ，我们有 （ 一＋０（３）且 对任意的ｉ≥１，ｌ Ｙ ｌ≤１。那么对任意小的 ∈（０， １），存在正整数Ⅳ，使得当ｉ＞Ⅳ时 ｆ≤ 。由三 角不等式，我们有 －ｙＩｌ＝ ≤ ＋ ≤蓦 ＋ 耋 ≤≤ ＋耋 ＋ ：囊 ＋１ ＋ ＝ ＋ 誊 ＋ １２４ 哈尔滨理工大学学报 第２２卷 则对任意的 ∈Ａ，我们有 ｙ（Ａ， ）≤２一 ＜２＝６（Ａ） 对任意的 ∈Ａ，我们有 －ｏＩ一ｏ Ｉ＝蓦１＝ ｌ ／ ≤互素＝１≤盏 ＝・‘ ｌ／ 则Ａ ＿ＣＢ （Ｏ，１）。因为Ｂ （Ｏ，１）是一个完备集且６ （Ａ）＝６（Ｂ （Ｏ，１）），所以Ｂ （Ｏ，１）是Ａ的一个完备 化集。 下面证明Ｂ （ｏ，１）是ａ 的唯一的完备化集。 我们有Ｂ （Ｏ，１） 叼（Ａ）。只需证明叼（Ａ） Ｂ （Ｏ， １），否则，存在点 ｚ＝（ｚ ，…，ｚ ，…）∈６咖（Ａ）＼Ｂ （０，１） 那么存在 。∈（０，１），使得 ｌｌ＝１＋ 。 令Ⅳ是一个满足Ｎ＞ｌｏｇ １的整数。令点 ： （ １， ２，…， ，．．．）∈Ｘ满足 当 ≤Ⅳ时， 『一１： ≥０ ｉ １ ： 。 当ｉ＞Ｎ时， ｆ一 １： ｚ ≥Ｏ １ 一＜。 则我们有 ＝（ １， ２…．， ．．）∈Ａ，并且 １１…ＩＩ＝ ：黑 ＋砉 ＝＋： １ ８０＋＋ ＋ ｉ ＝１１ ２￣＋ ．Ｉ＝：囊。 ｖ十，ｌ ／ ＝１ ＋（１一 ）＋ 曼：Ｎ＋Ｉ２ ＋ ：囊 ≥｝２＋ ： ＞２＝６（Ａ） 这说明ｚ岳ｎ（ａ），矛盾。因此ｎ（ａ）Ｃ＿Ｂ （０，１）。从 而ｎ（ａ）＝Ｂ （Ｏ，１）。通过前面的讨论，我们有对任 意的 ∈Ａ，ｙ（Ａ， ）＜６（叼（Ａ））。 ４ 唯一完备化集和（Ｋ， ）一完备集 在这一部分，我们试图扩展文［２１］中定义在有 限维的Ｂａｎａｅｈ空间中（Ｋ，ｕ）一完备集的概念，并讨 论在一般的Ｂａｎａｅｈ空间中，（Ｋ，Ⅱ）一完备集的概念 和唯一完备化集的关系。 记 Ｋ＝｛Ｋ∈Ｈ： （Ｋ）＞０｝ 令Ｋ，Ｍ∈Ｋ是两个满足Ｋ 的凸体。令Ｍ∈ ＼｛Ｏ｝是一个给定的向量。若 ∈ｂｄＭ满足对任意 的Ａ＞０， ＋Ａ 隹Ｍ并且存在Ａ＞０，使得 —Ａ ∈ ｉｎｔＫ，则我们称 是 的一个（Ｋ，“）一定向边界点。 若凸体 的任意一个（Ｋ，“）一定向边界点 满足 （ ， ）＝６（ ），则我们称凸体 是（Ｋ， ）一完 备集。 对于上述的Ｋ和Ｍ，令 ｚ （Ｋ， ）＝｛戈＋Ａ ： ∈Ｋ，Ａ≥０｝ （Ｋ）＝ｎ（Ｋ）ｎｚ （Ｋ，Ｍ） 命题３令 是一个Ｂａｎａｅｈ空间。若 ，Ｍ∈ Ｋ， ，则对任意的向量 ∈Ｘ＼｛Ｏ｝，存在 ∈ ｂｄＭ，使得 是 的一个（Ｋ，“）一定向边界点。 证明：令Ｙ∈ｉｎｔＫ。对任意的ｕ∈ ＼｛０｝，存在点 Ｘ∈（ｙ＋＜一 ， ＞）ｎ ｂｄｇ 使得对某一个 ＞０，有 —Ｙ＝０［Ⅱ。那么 —ＣＩ￣／／， Ｙ∈ｉｎｔＫ 下面证明对任意的Ａ＞０，有 ＋Ａｕ甓Ｍ。否则存在 Ａ１＞０，使得 ＋Ａｌ ∈Ｍ。则 是【ｙ， ＋Ａ１ ］一个相 对内点。这说明 ∈ｉｎｔＭ，矛盾。故 ∈ｂｄｇ是 的 一个（Ｋ，“）一定向边界点。 命题４令 是一个Ｂａｎａｃｈ空间。若Ｋ，Ｍ∈ Ｋ，Ｋ ，则对所有 ∈ｂｄＭ， （Ｍ， ）＝６（ ）当且 仅当对任意的向量 ∈Ｘ＼｛Ｏ｝， 是（Ｋ，“）一完 备集。 证明：假设对任意的向量 ∈ ＼｛Ｏ｝， 是（ ， ）一 完备集。令Ｙ∈ｉｎｔＫ。对任意的 ∈ｂｄｇ，我们有 一ｙ ｌＩ＞０。令“。＝ 。我们有 一ｌＩ戈一ｙ ＩＩ“ｏ＝Ｙ∈ｉｎｔＫ 下面证明对任意的Ａ＞０， ＋Ａ 。隹Ｍ。否则存 在Ａ０＞０，使得 ＋Ａ０ｕ０∈Ｍ。则 是［Ｙ， ＋Ａ０ｕ】一 个相对内点。这说明 ∈ｉｎｔＭ，矛盾。因此 （Ｍ， ） ＝６（Ｍ）。故对所有的 ∈ｂｄｇ， （Ｍ， ）＝ （Ｍ）。 现假设对所有的 Ｅｂｄ（Ｍ）， （Ｍ， ）＝艿（Ｍ） 则对任意的向量ｕ∈ ＼｛Ｏ｝，由命题３，对 的所有 的（ ， ）一定向边界点 ∈ｂａｌＭ，ｙ（Ｍ， ）＝ （ ）。 因此 是（Ｋ， ）一完备集。 第３期 计东海等：Ｂａｎａｃｈ空间中有界闭凸集有唯一完备化集的条件 Ｋ＝ｔ＿Ｊ｛ （Ｋ）：Ｖ Ｍ∈ ＼｛ｏ｝｝ １２５ 命题５令 是一个实Ｂａｎａｃｈ空间。若Ｋ， ∈Ｋ满足ＫｏＣ＿Ｋ，则 是一个完备集当且仅当对任 因此，对于任意的向量“∈ ＼｛ｏ｝，卢 （Ｋ） Ｋ。由 （ ）的定义，我们有Ｋ 卢 （Ｋ）。因此对于任意的 向量ｔｔ∈ ＼｛ｏ｝， （Ｋ）＝Ｋ。假设对于任意的向量 意的向量 ∈ ＼｛ｏ｝，Ｋ是（Ｋｏ， ）一完备集。 证明：因为Ｋ，Ｋｏ∈Ｋ，由文［１４］的命题２．２，Ｋ是 一个完备集甘Ｖ ｉ ｂｄＫ， （Ｋ， ）＝６（Ｋ）。由命题 ∈ ＼｛ｏ｝，卢 （Ｋ）＝Ｋ。由（１），我ｆｆ］有叼（Ｋ）＝Ｋ。 ４，我ｆ『丁有Ｖ ∈ｂｄＫ，ｙ（Ｋ， ）＝ （ ） Ｖ ∈Ｘ＼ ｛ｏ｝， 是（Ｋｏ，／ｚ）一完备集。因此，Ｋ是一个完备集 甘Ｖ ∈ ＼｛ｏ｝，Ｋ是（Ｋｏ， ）一完备集。 命题６令 是一个实Ｂａｎａｃｈ空间。若 ， ∈Ｋ满足 叼（Ｋ），则Ｋ∈ＵＣ当且仅当对任意的 向量“∈ ＼｛ｏ｝，叼（ ）是（Ｋｏ，／ｚ）一完备集。 证明：由引理１，Ｋ∈ＵＣ铮卵（Ｋ）是一个完备集。因 为Ｋｏ∈Ｋ，Ｋｏ ．，７（Ｋ），由命题５，叼（Ｋ）是一个完备 集甘Ｖ ∈ ＼｛ｏ｝， （Ｋ）是（Ｋｏ， ）一完备集。因此， Ｋ∈ｕｃ甘Ｖ ∈ ＼｛０｝，卵（Ｋ）是（Ｋｏ， ）一完备集。 命题７令 是一个实Ｂａｎａｃｈ空间。若 ， ∈Ｋ满足 ０（Ｋ），则Ｋ∈ＵＣ当且仅当对任意的 向量／／，∈ ＼｛ｏ｝，Ｏ（Ｋ）是（Ｋｏ， ）一完备集。 证明：由引理１，Ｋ∈ＵＣ§ （Ｋ）是一个完备集。因 为Ｋ，Ｋｏ∈Ｋ满足 ０（Ｋ），由命题５，０（Ｋ）是一 个完备集甘Ｖ Ｅ Ｘ＼｛ｏ｝，０（ ）是（Ｋｏ，ｕ）一完备 集。因此，Ｋ∈ｕｃ铮Ｖ ∈ ＼｛ｏ｝，０（Ｋ）是（Ｋｏ， ） 一完备集。 命题８ 令 是一个实Ｂａｎａｃｈ空间。若Ｋ∈ Ｋ，则Ｋ是一个完备集当且仅当对任意的向量 ∈Ｘ ＼｛ｏ｝，卢 （ ）＝Ｋ。 证明：下面证明 （Ｋ）＝ＬＪ｛／３ （Ｋ）：Ｖ Ｍ∈ ＼｛ｏ｝｝ （１） 令 Ａ＝ｔ＿Ｊ｛ （ ）：Ｖ ｕ∈ ＼｛ｏ｝｝ 由／３ （Ｋ）的定义，我们显然有ＡＣｒ／（Ｋ）。下面证明 ，７（Ｋ） Ａ。由 （Ｋ）的定义，对于任意的ｕ∈Ｘ＼ ｛ｏ｝，Ｋ （Ｋ），那么Ｋ Ａ。若Ｋ＝叩（Ｋ），则叩 （ ） Ａ。只需证明当Ｋ ｃ叩（Ｋ）的情况。令Ｙ∈ ｉｎｔＫ。对任意的 Ｅ叼（Ｋ）＼ ，我们有Ｉｌ —Ｙ ｌｌ＞０。 令ｕ。＝ 。则 ＝Ｙ＋ｌ Ｉ—Ｙ ｌＩ“０∈Ｚ （Ｋ， ０） 那么， ∈７１（Ｋ）ｎＺ （Ｋ，１１，。）＝／３ （Ｋ）Ｃ＿Ａ 从而 （Ｋ）＼ＫＣ＿Ａ，这说明叩（Ｋ）Ｃ＿Ａ。 因此，（１）成立。 假设Ｋ是一个完备集。则＇７（Ｋ）＝Ｋ。 由（１），我们有 这意味着 是一个完备集。 对任意的ｕ∈ ＼｛ｏ｝，卢 （Ｋ） ０（Ｋ）和０（Ｋ） （Ｋ）不一定总是成立的。 例２在Ｘ＝ 空间中，集合 Ｋ＝ｃｏｎｙ｛（一１，０），（１，０），（０，１）｝ 则我们有 叩（Ｋ）＝｛（ ｌ， ２）∈ ：Ｊ １ ｊ≤１；一１≤ ２≤２｝ 和 ０（Ｋ）＝｛（ １， ２）∈ ：ｌ １ Ｉ≤１；０≤ ２≤１｝ 这说明集合 的完备化集不唯一。令向量‰＝（０， 一１），我们有 卢 （Ｋ）＝Ｋｕ｛（ ｌ， ２）∈ ：ｌ １ ｌ≤１，一１≤ ２≤０｝ 这说明卢 （Ｋ）Ｃ＿０（Ｋ）和０（Ｋ） （Ｋ）均不成立。 推论１ 令 是一个实Ｂａｎａｃｈ空间。若Ｋ∈ Ｋ，则Ｋ∈ＵＣ当且仅当对任意的向量Ｍ∈ ＼｛ｏ｝， 卢 （ ） （ ）。 证明：假设Ｋ∈ＵＣ。由引理１，我们有 （Ｋ）＝ （Ｋ） 由（１），我们有 ０（Ｋ）＝ｕ｛ （Ｋ）：Ｖ ｕ∈ ＼｛ｏ｝｝ 对任意的向量 ∈ ＼｛ｏ｝， （Ｋ） ０（Ｋ）。假设对 任意的向量“∈ ＼｛ｏ｝， （Ｋ） ０（Ｋ） 由（１），我们有叩（Ｋ） ０（Ｋ）。从而叩（Ｋ）＝０（Ｋ）。 由引理１，Ｋ∈ＵＣ。 参考文献： ［１］ ＢＬＡＮＣＥ．ＬＯｓ Ｅｎｓｅｍｂｌｅｓ Ｓｕｒｃｏｎｖｅｘｅｓ Ｐｌａｎｓ［Ｊ］．Ａｎｎａｌｅｓ Ｓｃｉｅｎ－ ｔｉｉｆｑｕｅｓ ｄｅ ｌ ｌ￣ｃｏｌｅ Ｎｏｒｍａｌｅ Ｓｕｐ￣ｒｉｅｕｒｅ．１９４３．６０：２１５—２４６． ［２］ ＭＯＲＥＮＯ Ｊ Ｐ，ＳＣＨＮＥＩＤＥＲ Ｒ．Ｄｉａｍｅｔｒｉｃａｌｌｙ Ｃｏｍｐｌｅｔｅ Ｓｅｔｓ ｉｎ Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ Ｓｐａｃｅｓ［Ｊ］．Ｉｓｒａｅｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，２０１２，１９１ （２）：７０１—７２０． ［３］ ＭＡＬＵＴＡ Ｅ．Ｕｎｉｆｏｒｍｌｙ Ｎｏｒｍａｌ Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ａｎｄ Ｒｅｌａｔｅｄ Ｃｏｅｆｉｆｃｉｅｎｔｓ ［Ｊ］．Ｐａｃｉｆｉｃ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，１９８４，１１１（２）：３５７—３６９． ［４］ＰＡＰＩＮＩ Ｐ Ｌ Ｃｏｍｐｌｅｔｉｏｎ ｎａｄ Ｂａｌｌｓ ｉｎ Ｂａｎａｃｈ Ｓｐａｃｅｓ［Ｊ］．Ａｎｎａｌｓ ｏｆ Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ Ａｎａｌｙｓｉｓ，２０１５，６（１）：２４—３３． ［５］ＭＯＲＥＮＯ Ｊ Ｐ，ＰＡＰＩＮＩ Ｐ Ｌ，ＰＨＥＬＰＳ Ｒ Ｒ．Ｄｉｍａｅｔｒｉｃａｌｌｙ Ｍａｘｉ— ｍａｌ ａｎｄ Ｃｏｎｓｔａｎｔ Ｗｉｄｔｈ Ｓｅｔｓ ｉｎ Ｂａｎａｃｈ Ｓｐａｃｅ［Ｊ］．Ｃａｎａｄｉａｎ Ｊｏｕｒ－ ｈａｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，２００６，５８（４）：８２０—８４２． ［６］ ＭＯＲＥＮＯ Ｊ Ｐ，ＳＣＨＮＥＩＤＥＲ Ｒ．Ｌｏｃａｌ Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ Ｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ Ｄｉａｍｅｔｉｒｃ Ｃｏｍｐｌｅｔｉｏｎ Ｍａｐｐｉｎｇ［Ｊ］．Ｈｏｕｓｔｏｎ Ｊ．Ｍａｔｈ，２０１２，３８ —ｌ ［—ｌ１２６ （４）：１２０７—１２２３． 哈尔滨理工大学学报 ¨ 第２２卷 Ｂ ｐｌｅｔｉｏｎ ｏｆ Ｓｅｔｓ ｉｎ Ｂａｎａｃｈ Ｓｐａｃｅｓ［Ｊ］．Ｍｏｎａｔｓｈｅｉｆｅ Ｆｉｉｒ Ｍａｔｈｅｍａ－ ｔｉｋ，２０１４，１７４（４）：５８７—５９７． ［７］ ＰＡＰＩＮＩ Ｐ Ｌ，ｗｕ ＳＥＮＬＩＮ．Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｏｆ Ｃｏｍｐｌｅｔｅ Ｓｅｔｓ［Ｊ］． Ａｄｖ．Ｇｅｏｍ．，２０１５，１５（４）：４８５—４９８． ［１６］ ＭＯＲＥＮＯＪ Ｐ．Ｐｏｒｏｓｉｔｙ ａｎｄ Ｕｎｉｑｕｅ Ｃｏｍｐｌｅｔｉｏｎ ｉｎ Ｓｔｉｃｔｒｌｙ Ｃｏｎｖｅｘ ［８］ ＢＬＡＮＣＥ．Ｓｕｒ Ｕｎｅ Ｇ６ｎ６ｒａｌｉｓａｔｉｏｎ ｄｅｓ Ｄｏｍａｉｎｅｓ Ｄ’６ｐａｉｓｓｅｕｒ ｃｏｎ— Ｓｐａｃｅｓ［Ｊ］．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｓｅｈｅ Ｚｅｉｔｓｃｈｒｉｆｔ，２０１１，２６７（１／２）：１７３ —ｓｔａｎｔｅ［Ｊ］．ＣＲ Ａｃａｄ．Ｓｃｉ．Ｐａｒｉｓ，１９４４，２１９：６６２—６６３． １８４． ［９］ ＢＡＶＡＵＤ Ａｄｊｏｉｎｔ Ｔｒａｎｓｆｏｒｍ．Ｏｖｅｒｃｏｎｖｅｘｉｔｙ ａｎｄ Ｓｅｔｓ ｏｆ Ｃｏｎ— ｓｔａｎｔ Ｗｉｄｔｈ『Ｊ］．Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ Ａｍｅｒｉｃａｎ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｓｏｃｉｅ— ａｍｅｔｅｒｓ，Ｃｅｎｔｅｒｓ ａｎｄ Ｄｉａｍｅｔｉｃａｌｒｌｙ ［１７］ ＢＡＲＯＮＴＩＭ，ＰＡＰＩＮＩ Ｐ Ｌ ＤｉＭａｘｉｍａｌ Ｓｅｔｓ［Ｊ］．Ｒｅｎｄ．Ｃｉｒｃ．Ｍａｔ．Ｐａｌｅｒｍｏ（２）Ｓｕｐｐｌ，１９９５， ３８（２）：１１—２４． ｔｙ，１９９２，３３３（１）：３１５—３２４． ｅｓ Ｆｏｒｍ［１０］ ＭＡＥＨＡＲＡＨ．Ｃｏｎｖｅｘ Ｂｏｄｉｉｎｇ Ｐａｉｒｓ ｏｆ Ｃｏｎｓｔａｎｔ Ｗｉｄｔｈ ［１８］ ＧＲＯＥＭＥＲＨ．Ｏｎ Ｃｏｍｐｌｅｔｅ Ｃｏｎｖｅｘ Ｂｏｄｉｅｓ［Ｊ］．Ｇｅｏｍｅｔｉｒａｅ Ｄｅｄｉ— ｃａｔａ，１９８６，２０（３）：３１９—３３４． ＮＩＨ，ＲＩＣＨＴＥＲ Ｃ，ＳＰＩＲＯＶＡ Ｍ．Ｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｂａｌｌｓ ［１９］ ＭＡＲＴＩ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｇｅｏｍｅｔｒｙ，１９８４，２２（２）：１０１—１０７． ＰＡＰＩＮＩＰ Ｌ．Ｃｏｍｐｌｅｔｅ Ｓｅｔｓ ａｎｄ Ｓｕｒｒｏｕｎｄｉｎｇｓ［Ｊ］．Ｐｒｏｃ．Ｉｎｔ． Ｓｙｍｐｏｓｉｕｍ ｏｎ Ｂａｎａｃｈ ａｎｄ Ｆｕｎｃｔｉｏｎ Ｓｐａｃｅｓ ＩＶ，Ｋｉｔａｋｙｕｓｈｕ， ２０１２：１４９一ｌ６３． Ｎ，ＺＨＡＮＧ ＸＩＮＵＮＧ．Ｗｉｄｅ Ｓｐｈｅｒｉｃａｌ ［１２］ ＨＥ ＣＨＡＮ，ＷＵ ＳＥＮＬＩａｎｄ Ｓｅｔｓ ｏｆ Ｃｏｎｓｔｎｔａ Ｗｉｄｔｈ ｉｎ Ｆｉｎｉｔｅ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ Ｎｏｒｍｅｄ Ｓｐａｃｅｓ ［Ｊ］．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｋａ，２０１３，５９（２）：４７７—４９２． ＮＩ Ｐ Ｌ，ＰＨＥＬＰＳ Ｒ Ｒ．Ｎｅｗ Ｆａｍｉｌｉｅｓ ｏｆ Ｃｏｎ— ［２Ｏ］ ＭＯＲＥＮＯＪ Ｐ，ＰＡＰＩＨｕｌｌ ａｎｄ Ｔｉｇｈｔ Ｓｐｈｅｒｉｃａｌ Ｈｕｌｌ ｏｆ Ｂｏｕｎｄｅｄ Ｓｅｔｓ ｉｎ Ｂａｎａｃｈ Ｓｐａｃｅｓ ｖｅｘ Ｓｅｔｓ Ｒｅｌａｔｅｄ ｔｏ Ｄｉａｍｅｔｒａｌ Ｍａｘｉｍａｌｉｔｙ［Ｊ］．Ｊｏｕｎａｒｌ ｏｆ Ｃｏｎｖｅｘ Ａｎａｌｙｓｉｓ，２００６，１３（３／４）：８２３—８３７． Ｐ，ＳＣＨＮＥＩＤＥＲ Ｒ．Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ Ｓｅｌｅｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ Ｄｉａ— ［２１］ ＭＯＲＥＮＯＪ［Ｊ］．Ａｎｎａｌｓ ｏｆ Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ Ａｎａｌｙｓｉｓ，ａｃｃｅｐｔｅｄ． ＮＫＩＮＥ Ｓ．ＳＩＤＥＮＫＯ Ｓ Ｖ．Ｔｈｅ Ｃｏｍｐｌｅｔｉｏｎ ｏｆ Ｓｅｔｓ ｔｏ ［１３］ ＰＯＬＯＶＩＢｏｄｉｅｓ ｏｆ Ｃｏｎｓｔｎｔａ Ｗｉｄｔｈ（Ｒｕｓｓｉａｎ）［Ｊ］．Ｕｃｈ．Ｚａｐ．Ｋａｚａｎ． Ｇｏｓ．Ｕｎｉｖ．，ｓｅｔ，Ｆｉｚ．一Ｍａｔ．Ｎａｕｋｉ，２００６，１４８（２）：１３２—１４３． ｍｅｔｉｒｃ Ｃｏｍｐｌｅｔｉｏｎ Ｍａｐｐｉｎｇ ｉｎ Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ ｓｐａｃｅｓ［Ｊ］．Ａｄｖａｎｃｅｓ ｉｎ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，２０１３，２３３（１）：２４８—２６７． ［１４］ ＳＡＬＬＥＥＧ Ｐａｉｒｓ ｏｆ Ｓｅｔｓ ｏｆ Ｃｏｎｓｔａｎｔ Ｒｅｌａｔｉｖｅ Ｗｉｄｔｈ『Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆＧｅｏｍｅｔｙ，１９８７，２９（１）：１—１１．ｒ Ｈ，ＰＡＰＩＮＩ Ｐ Ｌ，ＳＰＩＲＯＶＡ Ｍ．Ｃｏｍｐｌｅｔｅ Ｓｅｔｓ ａｎｄ Ｃｏｍ一 ［１５］ ＭＡＲＴＩＮＩ（编辑：温泽宇） （上接第１２０页） ＬＩ Ｊｉａｎ‘ｑｕａｎ，Ｍａ Ｚｈｉ—ｅｎ，Ｂｒａｕｅｒｆ．Ｇ１ｏｂａｌ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ Ｄｉｓｃｒｅｔｅ— 大学学报（自然科学版），２０１２，１ｌ（４）：５—８． ｔｉｍｅ ＳＩ ａｎｄ ＳＩＳ Ｅｐｉｄｅｍｉｃ Ｍｏｄｅｌｓ［Ｊ］．Ｍａｔｈ．Ｂｉｏｓｃｉｅｃｅｓ ａｎｄ Ｅｎｇｉ— ｎｅｅｆｉｎｇ，２００７，４（４）：６９９—７１０． ＬＩＵ Ｗ Ｍ，ＬＥＶＩＮ Ｓ Ａ，ＩＷＡＳＡ Ｙ．Ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ ｏｆ Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｉｎｃｉ— 曹慧，周义仓．具有饱和发生率的离散ＳＩＲ模型的分支［Ｊ］．工 程数学学报，２０１４，３１（３）：３４７—３６０． 胡增运．离散ＳＩＲＳ传染病模型的持久性和灭绝性分析［Ｊ］．应 ｄｅｎｃｅ Ｒａｔｅｓ Ｕｐｏｎ ｔｈｅ Ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ ＳＩＲＳ Ｅｐｉｄｅｍｉｏｌｏｇｉｅａｌ Ｍｏｄｅｌｓ 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