一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 已知复数𝑧=
2 A. √2
1+3𝑖3−𝑖
，则|𝑧|=( )
B. 2 C. 1
D. 2
1
2. 某物体的位移𝑠(米)与时间𝑡(秒)的关系为𝑠=𝑡2−𝑡，则该物体在𝑡=2时的瞬时速度是( )
A. 2米/秒 B. 3米/秒 C. 5米/秒 D. 6米/秒 3. 已知复数𝑧=2019−2018𝑖+1，则|𝑧|2018=( )
2018+2019𝑖
A. 22018 B. 21009 C. 1 D. √2
4. 在5付不同手套中任取4只，4只手套中至少有2只手套原来是同一付的可能( ) A. 190 B. 140 C. 130 D. 30 5. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑠𝑖𝑛𝑥在点(0,0)处的切线方程为𝑦=2𝑥，则𝑎=( )
A. 1
1
B. 2 C. 4
D. 2
1
6. 已知函数𝑓(𝑥)=3𝑥3+𝑏𝑥2+1在𝑥=2处取得极值，则𝑏=( )
A. −1 B. 1
C. 4
5
D. −4
5
7. 在10支铅笔中，有8支正品，2支次品，从中任取2支，则在第一次抽的是次品的条件下，第
二次抽的是正品的概率是( )
A. 5
1
B. 45
8
C. 5
4
D. 9
5
8
8. 设随机变量𝑋～𝐵(2,𝑃)，随机变量𝑌～𝐵(3,𝑃)，若𝑃(𝑋≥1)=9，则𝑃(𝑌≥1)等于( )
A. 27
19
B. 9
5
C. 9
7
D. 27
5
9. 在四面体的顶点和各棱中点中，选取4个不共面的点，则不同的取法共有( )
A. 150种 B. 147种 C. 144种 D. 141种 10. 已知函数𝑓(𝑥)=5𝑥2−𝑐𝑜𝑠𝑥−5，𝑓′(𝑥)为𝑓(𝑥)的导函数，则𝑓′(𝑥)的图象可能是( )
1
A.
B.
C.
D.
11. 已知(𝑥+2)(2𝑥−1)5=𝑎0+𝑎1𝑥+𝑎2𝑥2+⋯+𝑎6𝑥6，则𝑎0+𝑎2+𝑎4=( ) A. 123 B. 91 C. −152 D. −120
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12. 已知可导函数𝑓(𝑥)(𝑥∈𝑅)满足𝑓′(𝑥)>𝑓(𝑥)，则当𝑎>0时，𝑓(𝑎)和𝑒𝑎𝑓(0)的大小关系为( )
A. 𝑓(𝑎)<𝑒𝑎𝑓(0) B. 𝑓(𝑎)>𝑒𝑎𝑓(0) C. 𝑓(𝑎)=𝑒𝑎𝑓(0) D. 𝑓(𝑎)≤𝑒𝑎𝑓(0)
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 二项式(𝑎𝑥2+√𝑥)5展开式中的常数项为5，则实数𝑎= ______ ．
14. 设随机变量𝑋～𝑁(3,𝜎2)，若𝑃(𝑋>𝑚)=0.3，则𝑃(𝑋>6−𝑚)=_______． 15. 将4本不同的书送给3名同学，每人至少1本，则不同的送法有________种． 16. 函数𝑓(𝑥)=|𝑥2−1|−𝑎恰有两个零点，则实数a的取值范围为______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 当实数𝑚 为何值时，𝑧=(𝑚2−2𝑚−3)+(𝑚2+3𝑚+2)𝑖．
(1)为纯虚数； (2)为实数；
(3)对应的点在复平面内的第二象限内．
1
18. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑏𝑥𝑙𝑛𝑥+3(𝑏≠0)，𝑓′(𝑒)=4，𝑔(𝑥)=−𝑥2+𝑎𝑥．
(1)求函数𝑓(𝑥)的极值；
(2)若对∀𝑥∈(0,+∞)有𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)≥0恒成立，求实数a的取值范围．
19. 某外国语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会
英语，现选派3人到法国的学校交流访问，求：
(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；
(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列与期望．
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20. 某国际会议在西安召开，为了更好的做好交流工作，会务组选聘了14名男翻译和16名女翻译
担任翻译工作，调查发现，男、女翻译中分别有8人和6人会俄语． (Ⅰ)根据以上数据完成以下2×2列联表：
男 女 总计 会俄语 不会俄语 总计 𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2
30 并回答能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与会俄语有关？ 参考公式：𝐾2=(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)，其中𝑛=𝑎+𝑏+𝑐+𝑑
(Ⅱ)会俄语的6名女翻译中有3人曾在俄罗斯工作过，若从会俄语的6名女翻译中随机抽取2人做同声翻译，求抽出的2人都在俄罗斯工作过的概率．
21. 设(2𝑥+1)𝑛=𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1+𝑎𝑛−2𝑥𝑛−2+⋯+𝑎2𝑥2+𝑎1𝑥+𝑎0，已知𝑎𝑛、𝑎𝑛−1、𝑎𝑛−2成等
差数列．
(1)求n及𝑎3的值；
(2)求𝑎0−𝑎1+𝑎2−𝑎3+⋯+(−1)𝑛𝑎𝑛的值．
22. 已知函数𝑓(𝑥)=(𝑒𝑥−1)ln(𝑥+𝑎)(𝑎>0)在𝑥=0处取得极值．
(Ⅰ)求a的值；
(Ⅱ)当𝑥≥0时，求证𝑓(𝑥)≥𝑥2．
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-------- 答案与解析 --------
1.答案：C
解析：解：∵𝑧=
1+3𝑖3−𝑖
=
(1+3𝑖)(3+𝑖)(3−𝑖)(3+𝑖)
=
10𝑖10
=𝑖，
∴|𝑧|=1． 故选：C．
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题． 2.答案：B
解析：【分析】
本题考查了导数的物理意义𝑣=𝑠′和导数的运算法则，属于基础题． 利用导数的物理意义𝑣=𝑠′和导数的运算法则即可得出． 解析：
解：∵𝑣=𝑠′=2𝑡−1，
∴此物体在𝑡=2时的瞬时速度𝑣0=2×2−1=3． 故选B． 3.答案：B
解析：【分析】
本题考查了复数的运算，考查复数求模问题，属于基础题． 求出z，求出z的模，从而求出答案． 【解答】
解：∵𝑧=2019−2018𝑖+1
==
(2018+2019𝑖)𝑖
+1
(2019−2018𝑖)𝑖(2018+2019𝑖)𝑖
+1
2018+2019𝑖2018+2019𝑖
=𝑖+1， ∴|𝑧|=√2，
则|𝑧|2018=21009， 故选：B． 4.答案：C
4
解析：解：根据题意，从5付即10只不同的手套中任取4只，有𝐶10=210种不同的取法，
而先从5付中取4付，取出的4只没有是一付即4双中各取1只的取法有5×2×2×2×2=80种； 则至少有两只是一双的不同取法有210−80=130种． 故选：C．
根据题意，使用间接法：首先计算从5付即10只不同的手套中任取4只的取法数目，再计算取出的4只没有是一双的取法数目，进而相减计算可得答案．
本题考查排列组合的运用，如果此类题目中有“最多”“最少”等词语时，一般采用间接法，即首
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先计算全部的情况数目，再计算不符合要求的情况数目，进而相减可得答案． 5.答案：B
解析：【分析】
本题考查了导数的求法及其几何意义的应用，属于基础题．由题意求导𝑦′=𝑎𝑐𝑜𝑠𝑥，从而可得𝑎𝑐𝑜𝑠0=2，从而解得a的值． 【解答】
解：函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑠𝑖𝑛𝑥的导数为𝑦′=𝑎𝑐𝑜𝑠𝑥，
∵函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑠𝑖𝑛𝑥在点(0,0)处的切线方程为𝑦=2𝑥， 而𝑦=2𝑥的斜率为2， 故𝑎𝑐𝑜𝑠0=2， 解得𝑎=2． 故选B． 6.答案：A
解析：【分析】
本题考查了函数的极值问题，考查导数的应用，是一道基础题． 求出函数的导数，根据𝑓′(2)=0，求出b的值即可． 【解答】
解：函数𝑓(𝑥)=3𝑥3+𝑏𝑥2+1，可得𝑓′(𝑥)=𝑥2+2𝑏𝑥， ∵𝑓(𝑥)在𝑥=2处取得极值， ∴𝑓′(2)=4+4𝑏=0，
解得：𝑏=−1；经检验，满足条件取得极值， 故选A．
1
7.答案：D
解析：解：记事件A，B分别表示“第一次、第二次抽得正品”， 则𝐴𝐵表求“第一次抽得次品，第二次取得正品”，
则在第一次抽的是次品的条件下，第二次抽的是正品的概率： 𝑃(𝐵|𝐴)=
𝑃(𝐵𝐴)𝑃(𝐴)=
2×810×92×910×9
=9．
8
故选：D．
记事件A，B分别表示“第一次、第二次抽得正品”，则𝐴𝐵表求“第一次抽得次品，第二次取得正品”，利用条件概率计算公式能求出在第一次抽的是次品的条件下，第二次抽的是正品的概率． 本题考查概率的求法，考查条件概率等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题． 8.答案：A
解析：【分析】
本题考查二项分布与n次独立重复试验的模型，本题解题的关键是根据所给的X对应的概率值，列出方程，求出概率P的值．
根据随机变量服从𝑋～𝐵(2,𝑃)和𝑃(𝑋≥1)对应的概率的值，写出概率的表示式，得到关于P的方程，
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解出P的值，再根据Y符合二项分布，利用概率公式得到结果． 【解答】
0
(1−𝑃)2=，解得𝑃=3． 解：∵随机变量服从𝑋～𝐵(2,𝑃)，∴𝑃(𝑋≥1)=1−𝑃(𝑋=0)=1−𝐶2
93
∴𝑃(𝑌≥1)=1−𝑃(𝑌=0)=1−𝐶3(1−𝑃)3=
1927
5
1
，
故选：A． 9.答案：D
解析：【分析】
本题考查分类计数原理，考查排列组合的实际应用，是一个排列组合同立体几何结合的题目，解题时注意做到不重不漏． 【解答】
4
解：从10个点中任取4个点有𝐶10种取法，其中4点共面的情况有三类．
4
第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有4𝐶6种；
第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；
第三类，由中位线构成的平行四边形(其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱)，它的4顶点共面，有3种，
以上三类情况不合要求应减掉，
44
∴不同的取法共有𝐶10−4𝐶6−6−3=141种． 故选D． 10.答案：C
解析：【分析】
本题考查导数的运算以及函数的图象，属容易题． 先求导，再利用奇偶性以及特殊值求解即可． 【解答】
解：∵𝑓(𝑥)=5𝑥2−cos 𝑥−5，∴𝑓′(𝑥)=5𝑥+𝑠𝑖𝑛𝑥，∴𝑓′(−𝑥)=−5𝑥−𝑠𝑖𝑛𝑥=−𝑓′(𝑥)． ∴𝑓′(𝑥)为奇函数，即图象关于原点对称． 又当𝑥>0时，𝑓′(𝑥)>0恒成立， 故选C． 11.答案：C
1
2
2
解析：【分析】
本题考查了二项式定理及利用赋值法求二项式展开式的系数，属于中档题．
对等式分别赋值，求得𝑎0+𝑎2+𝑎4+𝑎6=−120，又𝑎6=32，则𝑎0+𝑎2+𝑎4=−152，得解． 【解答】
解：(𝑥+2)(2𝑥−1)5
=𝑎0+𝑎1𝑥+𝑎2𝑥2+𝑎3𝑥3+𝑎4𝑥4+𝑎5𝑥5+𝑎6𝑥6中， 取𝑥=1，得𝑎0+𝑎1+𝑎2+𝑎3+𝑎4+𝑎5+𝑎6=3，
取𝑥=−1，得𝑎0−𝑎1+𝑎2−𝑎3+𝑎4−𝑎5+𝑎6=−243， 所以2(𝑎0+𝑎2+𝑎4+𝑎6)=−240， 即𝑎0+𝑎2+𝑎4+𝑎6=−120，
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𝑟5−𝑟5−𝑟(又(2𝑥−1)5的通项为𝐶52𝑥−1)𝑟，
0
所以(2𝑥−1)5的展开式中𝑥5的系数为𝐶5×25×(−1)0=32， 所以𝑎6=32，
则𝑎0+𝑎2+𝑎4=−152， 故选：C． 12.答案：B
解析：【分析】
本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，构造函数是解决本题的关键，考查学生的构造能力，属于中档题． 构造函数𝑔(𝑥)=【解答】 解：设𝑔(𝑥)=
𝑓(𝑥)e𝑥𝑓(𝑥)𝑒𝑥
，判断函数𝑔(𝑥)的单调性，即可得到结论．
，则𝑔′(𝑥)=
𝑓′(𝑥)−𝑓(𝑥)
e𝑥
，
∵𝑓′(𝑥)>𝑓(𝑥)，即𝑓′(𝑥)−𝑓(𝑥)>0，又𝑒𝑥>0， 所以，𝑔′(𝑥)>0．
∴𝑔(𝑥)是R上的增函数， ∵𝑎>0，
∴𝑔(𝑎)>𝑔(0)， ∴
𝑓(𝑎)𝑒𝑎
>
𝑓(0)𝑒0
，所以𝑓(𝑎)>𝑒𝑎𝑓(0)，
故选B． 13.答案：1
𝑟𝑟 𝑎5−𝑟 ⋅⋅ 𝑎5−𝑟 ⋅ 𝑥10−2𝑟 ⋅ 𝑥 −2=𝐶5解析：解：二项式(𝑎𝑥2+√𝑥)5的展开式的通项公式为𝑇𝑟+1=𝐶5⋅
1𝑟
𝑥10−2𝑟， 令10−
5𝑟2
1 1
=0，解得𝑟=4，故展开式中的常数项为𝐶5⋅𝑎=5，∴𝑎=1，
5
故答案为1．
先求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．再由常数项为5，求得a的值． 本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题． 14.答案：0.7
解析：【分析】
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，属于基础题．
随机变量𝜉服从正态分布𝑁(3,𝜎2)，得到曲线关于𝑥=3对称，根据曲线的对称性得到结果． 【解答】
解：随机变量X服从正态分布𝑁(3,𝜎2)， ∴曲线关于𝑥=3对称， ∵𝑃(𝑋>𝑚)=0.3，
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∴𝑃(𝑋>6−𝑚)=1−0.3=0.7， 故答案为0.7．
15.答案：36
解析：【分析】
本题考查了分组分配的问题，关键是分组，属于基础题． 【解答】
解：3名同学每人至少一本，
2
则这四本书可以分为2，1，1三组，有𝐶4=6种，
再分给3名同学，有𝐴33=6种， 所以不同的分法有6×6=36种. 故答案为36.
16.答案：𝑎=0或𝑎>1
解析：解：函数𝑔(𝑥)=|𝑥2−1|的图象如图所示， ∵函数𝑓(𝑥)=|𝑥2−1|−𝑎恰有两个零点， ∴𝑎=0或𝑎>1．
故答案为：𝑎=0或𝑎>1．
作出函数𝑔(𝑥)=|𝑥2−1|的图象，即可求出实数a的取值范围． 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中熟练掌握函数零点与方程根之间的对应关系是解答的关键．
17.答案：解：(1)由{
−2𝑚−3=0，解得𝑚=3， 𝑚+3𝑚+2≠0
2
2
∴当𝑚=3时，复数z为纯虚数；
(2)由𝑚2+3𝑚+2=0，得𝑚=−1或𝑚=−2， ∴当𝑚=−1或𝑚=−2时，复数z为实数；
2
(3)由{𝑚2−2𝑚−3<0，解得−1<𝑚<3，
𝑚+3𝑚+2>0
∴当−1<𝑚<3时，复数z对应的点在第二象限内．
解析：该题考查复数的基本概念、几何意义，属基础题，熟记相关概念是解题关键． (1)由纯虚数的定义可得方程，解出即得； (2)由实数的定义可得方程，解出即可； (3)由题意可得不等式组，解出即可． 18.答案：解：𝑓′(𝑥)=𝑏(𝑙𝑛𝑥+1)，
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由𝑓′(𝑒)=𝑏(1+1)=4，解得𝑏=2，
故𝑓(𝑥)=2𝑥𝑙𝑛𝑥+3(𝑥>0)，𝑓′(𝑥)=2(𝑙𝑛𝑥+1)．
令𝑓′(𝑥)>0，解得𝑥>𝑒−1，令𝑓′(𝑥)<0，解得0<𝑥<𝑒−1， 故𝑓(𝑥)在(0,𝑒−1)内递减，在(𝑒−1,+∞)内递增， 故
，无极大值；
(2)若对∀𝑥∈(0,+∞)有𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)≥0恒成立，
即对∀𝑥∈(0,+∞)都有2𝑥𝑙𝑛𝑥+3+𝑥2−𝑎𝑥≥0恒成立， 即𝑎⩽2ln𝑥+𝑥+𝑥在𝑥∈(0,+∞)上恒成立． 令ℎ(𝑥)=2ln𝑥+𝑥+𝑥(𝑥>0)， 则ℎ′(𝑥)=+1−2=
𝑥𝑥
2
3
(𝑥+3)(𝑥−1)
𝑥2
33
，
令ℎ′(𝑥)>0，解得𝑥>1，令ℎ′(𝑥)<0，解得0<𝑥<1，
故ℎ(𝑥)在(0,1)内递减，在(1,+∞)内递增， 故ℎ(𝑥)𝑚𝑖𝑛=ℎ(1)=4，
故𝑎≤4，即a的取值范围是(−∞,4]．
解析：本题考查考查利用导数求函数的极值，及利用导数解决恒成立问题，属于中档题． (1)求导数，利用导数的正负，可得函数𝑓(𝑥)的单调区间，进而求出极值；
(2)不等式恒成立等价于𝑎⩽2ln𝑥+𝑥+𝑥在𝑥∈(0,+∞)上恒成立，进而求导求出最值即可求参数范围．
3
19.答案： 解：(1)事件A“选派的三人中恰有2人会法语的概率为：
𝑃(𝐴)=
2𝐶1
𝐶523𝐶7
=；
7
𝐶3
7
4
(2)𝑥的取值为0、1、2、3， 则𝑃(𝑥=0)=𝐶43=35， 𝑃(𝑥=1)=
2𝐶1𝐶433𝐶7
4
=
1835
，
𝑃(𝑥=2)=
1𝐶2𝐶433𝐶7
=
1235
，
𝑃(𝑥=3)=
3𝐶33𝐶7
=
1
35
；
分布列为： x 0 1 2 3 418121P 35353535𝐸𝑥=1×35+2×35+3×35=35=7．
18
12
1
45
9
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解析：本题考查离散型随机变量的分布列的应用，期望的求法，考查计算能力． (1)直接利用古典概型的概率计算方法求解即可．
(2)𝑥的取值为0、1、2、3，求出对应的概率，得到分布列然后求解期望．
20.答案：解：(Ⅰ)根据题意填写2×2列联表，如下； 会俄语 不会俄语 男 女 总计 30×(8×10−6×6)214×16×14×16
总计 14 16 30 8 6 14 6 10 16 假设是否会俄语与性别无关，由已知数据可得， 𝐾2=
≈1.1575<2.706，
∴在犯错误的概率不超过0.10的前提下，不能认为性别与会俄语有关；
(Ⅱ)会俄语的6名女翻译分别为A、B、C、D、E、F，
其中A、B、C曾在俄罗斯工作过，从这6人中随机抽取2人，
有AB、AC、AD、AE、AF、BC、BD、BE、BF、CD、CE、CF、DE、DF、EF共15种， 其中2人都在俄罗斯工作过的是AB、AC、BC共3种， ∴抽出的女翻译中，2人都在俄罗斯工作过的概率是𝑃=15=5．
解析：(Ⅰ)根据题意填写2×2列联表，计算观测值𝐾2，对照临界值得出结论； (Ⅱ)用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．
本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，是基础题． 21.答案：解：(1)依题意已知𝑎𝑛、𝑎𝑛−1、𝑎𝑛−2成等差数列，
021
可得𝐶𝑛⋅2𝑛+𝐶𝑛⋅2𝑛−2=2𝐶𝑛⋅2𝑛−1， 即2𝑛+𝑛(𝑛−1)⋅2𝑛−3=𝑛⋅2𝑛， ∴𝑛2−9𝑛+8=0， 解得𝑛=8或1(舍去)， ∴𝑛=8．
𝑟
由𝑇𝑟+1=𝐶8(2𝑥)8−𝑟，令8−𝑟=3，
5333
∴𝑟=5,𝑎3=𝐶82=𝐶82=448． (2)由(1)知𝑛=8，
在等式的两边取𝑥=−1，
得𝑎0−𝑎1+𝑎2−𝑎3+⋯+(−1)8𝑎8=(−1)8， 即𝑎0−𝑎1+𝑎2−𝑎3+⋯+𝑎8=1．
解析：本题主要考查二项式定理的应用，等差数列的性质，注意给x赋值，求得所求式子的值，属于基础题．
(1)由题意利用等差数列的性质，求得n的值，再根据通项公式求得𝑎3的值． (2)在所给的等式中，令𝑥=−1，可得𝑎0−𝑎1+𝑎2−𝑎3+⋯+(−1)𝑛𝑎𝑛的值．
3
1
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22.答案：解：(Ⅰ)∵𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥ln(𝑥+𝑎)+
𝑒𝑥−1𝑥+𝑎
，
函数𝑓(𝑥)在𝑥=0处取得极值， ∴𝑓′(0)=0，得𝑙𝑛𝑎=0， 即𝑎=1；
经检验，函数𝑓(𝑥)在𝑥=0处取得极值. (Ⅱ)由(Ⅰ)知𝑓(𝑥)=(𝑒𝑥−1)ln(𝑥+1)， 令𝑔(𝑥)=(𝑒𝑥−1)ln(𝑥+1)−𝑥2(𝑥≥0)， 则𝑔′(𝑥)=𝑒𝑥ln(𝑥+1)+
𝑒𝑥−1𝑥+1
−2𝑥，
令ℎ(𝑥)=(𝑥+1)𝑔′(𝑥)
=𝑒𝑥(𝑥+1)ln(𝑥+1)+𝑒𝑥−1−2𝑥(𝑥+1)，
∴ℎ′(𝑥)=𝑒𝑥(𝑥+1)ln(𝑥+1)
+𝑒𝑥[ln(𝑥+1)+1]+𝑒𝑥−(4𝑥+2)，
令𝜑(𝑥)=𝑒𝑥−𝑥−1，则𝜑′(𝑥)=𝑒𝑥−1，
当𝑥≤0时，𝑒𝑥−1≤0，当𝑥≥0时，𝑒𝑥−1≥0，
∴函数𝜑(𝑥)在区间(−∞,0]为减函数，在区间[0,+∞)为增函数． ∴𝜑(𝑥)𝑚𝑖𝑛=𝜑(0)=0，
∴对𝑥∈𝑅，𝜑(𝑥)≥0，即𝑒𝑥≥𝑥+1…①， 由①知𝑒𝑡−1≥𝑡…②，
当𝑡>0时，由②得𝑙𝑛𝑡≤𝑡−1…③，
当𝑥≥0时，以𝑥+1代换③式中t，得ln(𝑥+1)≥𝑥+1…④，
当𝑥≥0时，由①，④得𝑒𝑥ln(𝑥+1)≥𝑥，𝑒𝑥(𝑥+1)ln(𝑥+1)≥𝑥， ∴ℎ′(𝑥)≥𝑥+𝑥+2(𝑥+1)−(4𝑥+2)=0， ∴函数𝑦=ℎ(𝑥)(𝑥≥0)为增函数，
∴当𝑥≥0，ℎ(𝑥)≥ℎ(0)=0，即当𝑥≥0时，(𝑥+1)𝑔′(𝑥)≥0，且𝑥+1≥1>0， ∴𝑔′(𝑥)≥0，∴函数𝑦=𝑔(𝑥)(𝑥≥0)为增函数， ∴当𝑥≥0时，𝑔(𝑥)≥𝑔(0)=0 ∴故𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)+𝑥2≥𝑥2．
解析：本题考查了函数的单调性，导数的应用，考查不等式的证明问题，是一道较难题． (Ⅰ)先求出函数的导数，由𝑓′(0)=0，从而求出a的值； (Ⅱ)先求出𝑓(𝑥)的表达式，令𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑥2，通过讨论x的范围，结合导数的应用，求出函数𝑔(𝑥)的单调性，从而证出结论．
1
𝑥
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