【2020年数学高考】黑龙江省哈尔滨市第三中学2020届高三第一次模拟考试 数学理.doc

2020年哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试

数学试卷（理工类）

第I卷 （选择题, 共60分）

一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的．)

1．设集合A{x|24}，集合B{x|ylgx1}，则AB

xA. 1,2 

B. 1,2 C. 2, D. 1, 2．下列函数中，既是偶函数又在区间0,1内单调递减的是

A.yx

2 B.ycosx C.y2

xD.ylnx

3．设Sn是等差数列an的前n项和,若a3a1118,S33,那么a5等于

A. 4

B. 5

C. 9

D. 18

4．已知OAcos15,sin15， OBcos75,sin75，则AB

A. 2 5. 过原点且倾斜角为A. 3

B. 3

C. 2

D. 1

22的直线被圆xy4y0所截得的弦长为 3

B. 2

C. 6

D. 23

6．设l,m是两条不同的直线， ,是两个不同的平面，给出下列条件， 其中能够推出l∥m的是

A. l∥，m⊥，⊥ C. l∥，m∥，∥

B. l⊥，m⊥，∥ D. l∥，m∥，⊥

7．函数ylogax31（a0且a1）的图像恒过定点A，若点A在直线mxny10 上，其中m0,n0，则mn的最大值为

·1·

精选试题

A.

1 16 B.

1 8 C.

1 4 D.

1 28. 设Sn是数列an的前n项和，若Sn2an3，则Sn A. 2n1

B. 2n11

C. 32n3

D. 32n1

9．如图，格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该几何体的体积为 A. 4 C.

10. 千年潮未落，风起再扬帆，为实现“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴的中国梦

奠定坚实基础，哈三中积极响应国家号召，不断加大拔尖人才的培养力度，据不完全统计：

年 份（届） 竞赛获省级一等奖及以上学生人数x 被清华、北大等世界名校录取的学生人数y

2014 2015 2016 2017

B. 2 D.

4 32 351 49 55 57 103 96 108 107 ˆ为1.35，我校2020届同学在竞赛中获省级一等奖及以ˆaˆbxˆ中的b根据上表可得回归方程y上学生人数为63人，据此模型预报我校今年被清华、北大等世界名校录取的学生人数为 A. 111

B. 117

C. 118

D.123

x2y211．已知F1、F2为双曲线C:221(a0,b0)的左、右焦点，点P为双曲线C右支上一点，

ab直线PF1与圆xya相切，且PF2F1F2，则双曲线C的离心率为

222A. 10 3B.

24 3C.

5 3D. 2

12. 设函数f(x)lnxaxbx，若x1是函数f(x)的极大值点，则实数a的取值

范围是

·2·

精选试题

A. ，

121 B. ，  C. 1，D. ，

122020年哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试

数学试卷（理工类）

第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）

二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．） 13.已知正方形ABCD边长为2, M是CD的中点,则AMBD= .

y114.若实数x,y满足xy1，则2xy的最大值为 .

yx115.直线l与抛物线y4x相交于不同两点A、B,若M(x0,4）是AB中点，则直线l的 斜率k .

16.已知锐角A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于钝角A2B2C2的三个内角的正弦值, 其中A2

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．(本小题满分12分)

2已知函数f(x)3sinxsinxcosx.

22,若B2C21,则22A2B23A2C2的最大值为 . （1）当x0,时，求f(x)的值域； 3A3（2）已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,f(),a4,bc5，

22求ABC的面积.

·3·

精选试题

18. (本小题满分12分)

某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天课外体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟） 平均每天锻炼的时间/分钟 总人数

将学生日均课外体育锻炼时间在40,60的学生评价为“课外体育达标”. （1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的22列联表；

男 女 合计 课外体育不达标 课外体育达标 20 合计 110 0,10 10,20 20,30 30,40 40,50 50,60 20 36 44 50 40 10 （2）通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”

与性别有关？

n(adbc)2参考公式K,其中nabcd

(ab)(cd)(ac)(bd)2PK2k 0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 0.001 k

7.879 10.828 ·4·

精选试题

19. (本小题满分12分)

如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB120且ACBCAA12，E是棱CC1上动点，

F是AB中点.

（1）当E是CC1中点时，求证：CF//平面AEB1；

（2）在棱CC1上是否存在点E，使得平面AEB1与平面ABC所成锐二面角为

若存在，求CE的长，若不存在，请说明理由.

20. (本小题满分12分)

， 6C1A1B1ECAFB·5·

精选试题

x2y21的右焦点，过F的直线l与椭圆相交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点. 已知F是椭圆62（1）若x1x23，求AB弦长；

（2）O为坐标原点,AOB,满足3OAOBtan46，求直线l的方程.

21. (本小题满分12分) 已知函数f(x)ln(ax2)2(x0). 1x（1）当a2时，求f(x)的最小值；

（2）若f(x)2ln21恒成立，求实数a的取值范围.

请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4:坐标系与参数方程(本小题满分10分) 在极坐标系中，曲线C1的方程为23，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直212sin3x2t2角坐标系，曲线C2的方程为（t为参数）. y1t2

（1）求曲线C1的参数方程和曲线C2的普通方程；

·6·

精选试题

（2）求曲线C1上的点到曲线C2的距离的最大值.

·7·

精选试题

23.选修4-5:不等式选讲(本小题满分10分) 已知函数f(x)2xax2.

（1）当a1时，求不等式f(x)0的解集；

（2）当a2时，函数f(x)的最小值为t，11t (m0,n0)，求mn的最小值.

m4n·8·

精选试题

2020哈三中第一次模拟考试理科数学答案

一、选择题 1 C 2 B 3 B 4 D 5 D 6 B 7 A 8 C 9 D 10 B 11 C 12 A 二、填空题

13. 2 14. 5 15. 三、解答题

17．（1）题意知，由f(x)3sinxsinxcosxsin(2x21 16. 10

2

3)32

33 ∵x0,3，∴2x33,3，∴sin(2x3)2,2

 可得f(x)0,3

（2）∵f()A23，∴sin(A)0，∵A0,可得A 233 ∵a4,bc5，

∴由余弦定理可得16bcbc(bc)3bc253bc ∴bc3 ∴SABC18. (1) 男 女 合计 2222133bcsinA 24课外体育达标 合计 30 20 50 90 110 200 课外体育不达标 60 90 150 200(60203090)22006.0606.635 (2) K150509011033 所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关.

·9·

精选试题

19.（1）取AB1中点G，连结EG、FG，则FG∥BB1且FG因为当E为CC1中点时，CE∥BB1且CE所以FG∥CE且FGCE.

所以四边形CEGF为平行四边形，CF∥EG， 又因为CF平面AEB1，EG平面AEB1， 所以CF//平面AEB1；

（2）假设存在满足条件的点E，设CE01.

1BB1. 2C11BB1， 2A1B1ECAFBx以F为原点，向量FB、FC、AA1方向为轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系.

则A3,0,0，B13,0,2，E0,1,，平面ABC的法向量m0,0,1，

平面AEB1的法向量nn3，33,3，cosm，mnmn3399123， 2解得1，所以存在满足条件的点E，此时CE1.

x23y26(3k21)x212k2x12k260 20.(1) yk(x2)x1x23k21AB6

(2) 3OAOBtan46SAOB

326x2 x2,y33

ax2a421. f(x)，x0 2(ax2（)x1）x21（1）当a2时f(x),f(x)minf(1)2ln21 3（x1）（2）x0a0

①a0时, f(1)ln212ln21不成立

·10·

精选试题

②a4时, f(x)0,f(x)在(0,)递增, f(x)f(0)ln222ln21成立

③0a4时, f(x)在(0,4a4a)递减, (,)递增 aaf(x)minf(4a4a)ln（a2）aa24a1a

设

4a44a4t2t0a2)g(t)ln（22）,f(x)minf( aat1t1t14t2g(t)0,所以g(t)在(0,)递减,又g(1)2ln21

(t1)2(t21)所以0t1综上: a2

22. （1）曲线C1的参数方程为C1:4a12a4 ax3cos（为参数）

ysin 曲线C2的普通方程为x3y20

（2）设曲线C1上任意一点P(3cos,sin)，点P到x3y20的距离

d3cos3sin226cos()24

262 2 ∵626cos(4)262 ∴0d62 2 所以曲线C1上的点到曲线C2的距离的最大值为

23．（1）当a1时，不等式为2x1x202x1x2 两边平方得4(x1)(x2)，解得x4或x0 ∴f(x)0的解集为,04,

·11·

22精选试题

6x,x2, （2）当a2时，f(x)2x2x223x,2x2，可得t4，

x6,x2 ∴

114(m0,n0) m4n111(mn) 4m4n15nm1591 44m4n4416 ∴mn  当且仅当m2n，即n

33，m时取等号. 168 ·12·