高中向量知识点归纳

高中向量知识点归纳(总2页)

-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除

向量 一、平面向量的概念及线性运算 1．向量的有关概念 名称 向量 零向量 单位向量 平行向量 共线向量 定义 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 长度为0的向量；其方向是任意的 长度等于1个单位的向量 方向相同或相反的非零向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量 长度相等且方向相同的向量 长度相等且方向相反的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 0的相反向量为0 0与任一向量平行或共线 备注 平面向量是自由向量 记作0 非零向量a的单位向量为±a |a|相等向量 相反向量 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 (1)交换律：a＋加法 求两个向量和的运算 b＝b＋a. (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 求a与b的相反向量减法 －b的和的运算叫做a与b的差 法则 (1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa的求实数λ与向量a的积的运算 方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. 三角形a－b＝a＋(－b) λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋数乘 μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb 二、平面向量基本定理及坐标表示 1．平面向量基本定理 如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)， 2λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y1. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． →→②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝3．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. x2－x12＋y2－y12. 三、平面向量的数量积 1．平面向量的数量积 已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a和b的数量积(或内积)，记作a·b＝|a||b|cos θ. 规定：零向量与任一向量的数量积为__0__. 两个非零向量a与b垂直的充要条件是a·b＝0，两个非零向量a与b平行的充要条件是a·b＝±|a||b|. 2．平面向量数量积的几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积． 3．平面向量数量积的重要性质 (1)e·a＝a·e＝|a|cos θ； (2)非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0； (3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|； 当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，a·a＝a，|a|＝a·a； (4)cos θ＝2a·b； |a||b|(5)|a·b|__≤__|a||b|. 4．平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)； (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 5．平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到 (1)若a＝(x，y)，则|a|＝x＋y或|a|＝x＋y. →(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离|AB|＝|AB|＝22222x2－x12＋y2－y12. (3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.