沪教版2021~2022学年八年级数学(上)：第17章 一元二次方程 单元达标测试卷(二)含答案解析

数 学

（考试时间：100分钟 满分：120分）

学校： 班级： 考号： 得分：

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1． 若一元二次方程ax22x10有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）A．a1

B．a1

C．a1且a0

D．a1且a0

abx1x0，adbc，按照定义，若2．若对于任何实数a，b，c，d，定义

x12x3cd则x的值为（ ） A．3 B．3 2C．3

D．3 3．已知关于x的一元二次方程标kx2k1xk20有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ） A．k1 41且k0 4B．k1 41k0 4C．kD．k4．若方程x28xm0可通过配方写成(xn)2 =6的形式，则x28xm5可配方成（ ） A．(xn5)21

B．(xn)21

C．(xn5)211

D．(xn)211

5．用配方法解方程x24x1时，原方程应变形为（ ） A．(x2)21

2B．(x2)25 C．(x2)21 D．(x2)25

26．已知方程x2021x10的两根分别为x1，x2，则x12021的值为（ ） x2D．2021

A．1 B．1 C．2021

7．下列方程是一元二次方程的是（ ）

A．6x20 B．2x2y10 C．

1x2 x2D．x22x0

8．在一块宽为20 m，长为32 m的矩形空地上修建花坛，如果在四周留出同样宽的小路，余下的部分修建花坛，使花坛的面积为540 m2，求小路的宽．设小路宽为x m，根据题意，所列方程正确的是 （ ） A．（20-x）(32-x)=540 C．（20－2x）(32－2x )=540

B．（20-x）(32-x)=100 D．（20-2x）(32-2x)=100

9．设a，b是方程x2x20220的两个实数根，则a22ab的值为（ ） A．2020

B．2021

C．2022

D．2023

10．已知三角形两边的长分别是3和6，第三边的长是方程x26x80的根，则这个三角形的周长为（ ） A．11

B．13

C．17

D．13或11

11．某口罩厂六月份的口罩产量为100万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到81万只设该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为x，可列方程为（ ） A．1001x＝81

2B．1001x＝81

D．1001001x1001x＝81

22100 C．811x＝12．若关于x的一元二次方程

2

212

x﹣2kx＋1﹣4k＝0有两个相等的实数根，则代数式（k﹣2）2＋2k（1﹣k）的值为（ ）

B．﹣3

C．A．3

7 2D．

7 2二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13．设x1,x2是关于x的方程x23xk0的两个根，且x12x2，则k_______． 14．方程3xx11x的根为____________．

15．若x1,x2是关于x的方程x22mxm2m10的两个根，且x1x22x1x2，则

m________．

16．若关于x的一元二次方程(2ax1)(xa)a2的二次项系数是4，则a的值为________．

17．n是一元二次方程x22x10的两个实数根， 若m，则m24m2n的值是______．

18．已知方程x26x20的两个解分别为x1，x2，则2x1x22x1x2______． 三、 解答题（本大题共6小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．已知关于x的方程x22xa0有两个不相等的实数根，请化简

22a21a11aa124a．

20．某商场出售的电脑原价为每台5000元，元旦期间开展了促销活动，将原价经过两次下调后，促销价为每台4050元． （1）求平均每次下调的百分率；

（2）临近春节，该店决定推出力度更大的促销活动，按（1）中的百分率第三次下调销售价，若该电脑的进货价为每台3000元，则此次促销中每台电脑的利润为__________元． 21．已知关于x的一元二次方程x2(2k1)xk2k0． （1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．

x1（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且k与都为整数，求k所有可能的值．

x222．某商场销售一批名牌衬衣，平均每天可卖出30件，每件盈利50元，为了扩大销售，增加利润，减少库存，商店决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件村衣每降价1元，则每天可多2件．

（1）若每件降价20元，则平均每天可卖_______件．

（2）商场每天要获利2000元，且让顾客得实惠，求每件衬衣应降价多少元？

23．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．

（1）若降价3元，则平均每天销售数量为_________件；

（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 24．已知关于的方程x22xm20．

（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围； （2）当该方程的一个根为1时，求m的值及方程的另一根．

参考答案

二、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1． 若一元二次方程ax22x10有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）A．a1 【答案】D 【分析】

根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a≠0且△=22-4a＞0，然后求出两不等式的公共部分即可． 【详解】

解：根据题意得a≠0且△=22-4a＞0， 解得a＜1且a≠0． 故选：D． 【点睛】

本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．

B．a1

C．a1且a0

D．a1且a0

abx1x0，adbc，按照定义，若2．若对于任何实数a，b，c，d，定义

x12x3cd则x的值为（ ） A．3 【答案】D 【分析】

根据题意可得方程（x+1）（2x-3）=x（x-1），然后再整理可得x2=3，再利用直接开平方法解方程即可． 【详解】

解：由题意得：（x+1）（2x-3）=x（x-1）， 整理得：x2=3，

两边直接开平方得：x=3，

B．3 C．3

D．3 故选：D． 【点睛】

此题主要考查了一元二次方程的解法—直接开平方法，关键是正确理解题意，列出方程． 3．已知关于x的一元二次方程标kx2k1xk20有两个不相等的实数根，则实

2数k的取值范围是（ ） A．k1 41且k0 4B．k1 41k0 4C．kD．k【答案】C 【分析】

由一元二次方程定义得出二次项系数k≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出“△>0”，解这两个不等式即可得到k的取值范围． 【详解】

k0, 解：由题可得：22k14kk201解得：k且k0；

4故选：C． 【点睛】

本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求．

4．若方程x28xm0可通过配方写成(xn)2 =6的形式，则x28xm5可配方成（ ） A．(xn5)21 【答案】D 【分析】

已知方程x2-8x+m=0可以配方成（x-n）2=6的形式，把x2-8x+m=0配方即可得到一个关于m

B．(xn)21

C．(xn5)211

D．(xn)211

的方程，求得m的值，再利用配方法即可确定x2+8x+m=5配方后的形式． 【详解】

解：∵x2-8x+m=0， ∴x2-8x=-m， ∴x2-8x+16=-m+16， ∴（x-4）2=-m+16， 依题意有n=4，-m+16=6， ∴n=4，m=10，

∴x2+8x+m=5是x2+8x+5=0， ∴x2+8x+16=-5+16， ∴（x+4）2=11， 即（x+n）2=11． 故选：D． 【点睛】

本题考查了解一元二次方程-配方法，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 5．用配方法解方程x24x1时，原方程应变形为（ ） A．(x2)21 【答案】D 【分析】

移项，配方，变形后即可得出选项． 【详解】 解：x2-4x=1， x2-4x+4=1+4， ∴（x-2）2=5， 故选：D． 【点睛】

本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．

B．(x2)25

C．(x2)21

D．(x2)25

26．已知方程x2021x10的两根分别为x1，x2，则x122021的值为（ ） x2D．2021

A．1 【答案】B 【分析】

B．1 C．2021

2根据一元二次方程解的定义及根与系数的关系可得x12021x11，x1x21，再代入通

分计算即可求解． 【详解】

∵方程x22021x10的两根分别为x1，x2，

2∴x12021x110，x1x21，

∴x12021x11，

2∴x12202120212021x1x2x2202120211x22021x22021x1=====-11x2x2x2x2x2x2． 故选B． 【点睛】

本题考查了一元二次方程解的定义及根与系数的关系，熟练运用一元二次方程解的定义及根与系数的关系是解决问题的关键． 7．下列方程是一元二次方程的是（ ） A．6x20 【答案】D 【分析】

根据一元二次方程的定义求解即可． 【详解】

解：A、是一元一次方程，故A不符合题意； B、是二元二次方程，故B不符合题意； C、是分式方程，故C不符合题意； D、是一元二次方程，故D符合题意；

B．2x2y10 C．

1x2 2xD．x22x0

故选：D． 【点睛】

本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 8．在一块宽为20 m，长为32 m的矩形空地上修建花坛，如果在四周留出同样宽的小路，余下的部分修建花坛，使花坛的面积为540 m2，求小路的宽．设小路宽为x m，根据题意，所列方程正确的是 （ ） A．（20-x）(32-x)=540 C．（20－2x）(32－2x )=540 【答案】C 【分析】

设小路宽为x米，根据题意表示出花坛部分的长为：（32﹣2x）m，宽为：（20﹣2x）m，如此一来，花坛的面积就为（32﹣2x）（20﹣2x）平方米，进而即可列出方程，求出答案． 【详解】

解：如图所示，设小路宽为x米，因为花坛的面积为540 m2

B．（20-x）(32-x)=100 D．（20-2x）(32-2x)=100

根据题意得：（20﹣2x）（32﹣2x）＝540． 故选：C． 【点睛】

本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，这类题目体现了数形结合的思想，要求学生能根据题意得数量关系建立等式，进而即可列出方程，求出答案．

9．设a，b是方程x2x20220的两个实数根，则a22ab的值为（ ） A．2020 【答案】B 【分析】

由题意根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a2a2022、ab1，将其代入a22ab(a2a)(ab)中即可得出答案． 【详解】

解：∵a，b是方程x2x20220的两个实数根， ∴a2a2022、ab1，

∴a22ab(a2a)(ab)=2022-1=2021． 故选：B． 【点睛】

本题考查根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解及根与系数的关系找出a2a2022、ab1是解题的关键．

10．已知三角形两边的长分别是3和6，第三边的长是方程x26x80的根，则这个三角形的周长为（ ） A．11 【答案】B 【分析】

首先从方程x2-6x+8=0中，确定第三边的边长为2或4；其次考查2，3，6或4，3，6能否构成三角形，从而求出三角形的周长． 【详解】

解：由方程x2-6x+8=0，得： 解得x1=2或x2=4，

当第三边是2时，2+3＜6，不能构成三角形，应舍去； 当第三边是4时，三角形的周长为4+3+6=13． 故选：B．

B．13

C．17

D．13或11

B．2021

C．2022

D．2023

【点睛】

本题考查了三角形三边关系，求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯，不符合题意的应弃之．

11．某口罩厂六月份的口罩产量为100万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到81万只设该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为x，可列方程为（ ） A．1001x＝81 C．811x＝100 【答案】B 【分析】

根据题意，分别表示七、八月份的产量，然后列式即可． 【详解】

设该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为x， 七月份的产量为：100100x1001x，

八月份的产量为：1001x1001xx1001x1x1001x， ∴列式为：1001x＝81，

2222B．1001x＝81

D．1001001x1001x＝81

22故选：B． 【点睛】

本题考查一元二次方程的实际应用，熟记增长率和减少率的基本模型是解题关键． 12．若关于x的一元二次方程

2

12

x﹣2kx＋1﹣4k＝0有两个相等的实数根，则代数式（k﹣2）2＋2k（1﹣k）的值为（ ）

B．﹣3

C．A．3 【答案】D 【分析】

7 2D．

7 2先根据一元二次方程根的判别式求出k的值，再代入求值即可得． 【详解】

解：由题意得：方程

121x2kx14k0根的判别式4k24(14k)0， 22整理得：2k224k10，即k2k1， 2则(k2)22k(1k)k24k42k2k2，

k22k4，

(k22k)4，

14，

27， 2故选：D． 【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式、代数式求值，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13．设x1,x2是关于x的方程x23xk0的两个根，且x12x2，则k_______． 【答案】2 【分析】

先利用根与系数的关系中两根之和等于3，求出该方程的两个根，再利用两根之积得到k的值即可． 【详解】

x2k， 解：由根与系数的关系可得：x1x23，x1·∵x12x2， ∴3x23， ∴x21， ∴x12， ∴k122; 故答案为：2． 【点睛】

本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系，解决本题的关键是牢记公式，即对于一元二

次方程axbxc0a0，其两根之和为 2bc，两根之积为． aa14．方程3xx11x的根为____________． 1【答案】x11,x2

3【详解】

原方程移项，得3xx1x10，即x13x10，∴x10或3x10，1解得x11,x2

315．若x1,x2是关于x的方程x22mxm2m10的两个根，且x1x22x1x2，则

m________．

【答案】【详解】

∵x1,x2是关于x的方程x22mxm2m10的两个根，∴

2113 2x1x22m，

x1x2m2m1，b24ac2m4m2m14m40，解得

m1．∵x1x22x1x2，∴2m2m2m1，即m2m30，解得

m113113或（舍去）．

2216．若关于x的一元二次方程(2ax1)(xa)a2的二次项系数是4，则a的值为________． 【答案】-2 【详解】

22将(2ax1)(xa)a2化为一般形式得2ax12ax22a0，∴该一元二次

方程的二次项系数为2a．由题意得2a4，解得a2．

17．n是一元二次方程x22x10的两个实数根， 若m，则m24m2n的值是______．【答案】-3． 【分析】

先根据一元二次方程的解的定义得到m22m10，则m2关系得出mn2，再将其代入整理后的代数式计算即可． 【详解】

解：∵m，n是一元二次方程x22x10的两个实数根， ∴m22m10，mn2 ∴m22m1，根据根与系数的

2m1，

∴m24m2n =m22m2m2n

=1+2×（-2） =-3

故答案为：-3． 【点睛】

本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：若x1,x2是一元二次方程

bcax2bxc0(a0)的两根时，x1+x2=-,x1x2=，也考查了一元二次方程的解．

aa18．已知方程x26x20的两个解分别为x1，x2，则2x1x22x1x2______． 【答案】24 【分析】

根据根的系数的关系得到x1x26，x1x22，再把原式因式分解即可代入求解． 【详解】

∵方程x26x20的两个解分别为x1，x2， ∴x1x26，x1x22，

∴2x1x22x1x22x1x2x1x222624．

2222故答案为：24． 【点睛】

此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知一元二次方程根的系数的关系．

三、 解答题（本大题共6小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．已知关于x的方程x22xa0有两个不相等的实数根，请化简

a21a11a【答案】2 【分析】

a124a．

先根据x22xa0 有两个不相等的实数根可知△＞0，即可得出a的取值范围；然后再将原式化简求值即可； 【详解】

∵x22xa0有两个不相等的实数根， ∴ =b24ac44a＞0 ， ∴ a＜1 ，

1a2原式=a22a14a

1a=1aa12

=1a1a

=2

∴ 原式=2． 【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式以及分式和二次根式的化简求值，正确掌握运算方法是解题的关键．

20．某商场出售的电脑原价为每台5000元，元旦期间开展了促销活动，将原价经过两次下调后，促销价为每台4050元． （1）求平均每次下调的百分率；

（2）临近春节，该店决定推出力度更大的促销活动，按（1）中的百分率第三次下调销售价，若该电脑的进货价为每台3000元，则此次促销中每台电脑的利润为__________元． 【答案】（1）10%；（2）645元． 【分析】

（1）设平均每次下调的百分率为x，根据电脑的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的解；

（2）利用每台电脑的利润=经过两次降价后的价格（1下调率）进货价，即可求出结论． 【详解】

解：（1）设平均每次下调的百分率为x， 根据题意得：5000(1x)24050，

解得：x10.110%,x21.9（不符合题意，舍去） 答：平均每次下调的百分率为10%．

（2）根据（1）所得结论及电脑利润的表达式得：

4050(110%)3000645（元）

故答案是：645元． 【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程．21．已知关于x的一元二次方程x2(2k1)xk2k0． （1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．

x1（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且k与都为整数，求k所有可能的值．

x2【答案】（1）见解析；（2）0或-2或1或-1 【分析】

（1）计算判别式的值，然后根据判别式的意义得到结论；

x1（2）先利用因式分解法得出方程的两个根，再结合k与都为整数，得出k的值；

x2【详解】

解：（1）x2(2k1)xk2k0 ∵△=(2k1)41kk

22=4k2+4k+1-4k2-4k=1＞0

∴无论k取何值， 方程都有两个不相等的实数根． （2）∵x2(2k1)xk2k0 ∴xkxk-1=0 ∴xk=0，xk-1=0

∴x1k，x2=k+1或x1k+1，x2=k 当x1k，x2=k+1时，

x1k1==1- x2k+1k+1x1∵k与都为整数，

x2∴k=0或-2

当x1k+1，x2=k时，

x1k+11==1+∴， x2kk∵k与

x1都为整数， x2∴k=1或-1

∴k所有可能的值为0或-2或1或-1 【点睛】

本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不等的实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的解．

22．某商场销售一批名牌衬衣，平均每天可卖出30件，每件盈利50元，为了扩大销售，增加利润，减少库存，商店决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件村衣每降价1元，则每天可多2件．

（1）若每件降价20元，则平均每天可卖_______件．

（2）商场每天要获利2000元，且让顾客得实惠，求每件衬衣应降价多少元？ 【答案】（1）70；（2）25元 【分析】

（1）利用基础件数加上降价后增加的件数可得；

（2）根据利润为2000元列出方程，解之，再根据为了扩大销售，增加利润，减少库存进行取舍可得． 【详解】

解：（1）若每件降价20元， 则平均每天可卖30+202=70件； （2）设每件衬衣降价x元， 由题意可得：

（50-x）（30+2x）=2000， 解得：x=10或x=25，

∵为了扩大销售，增加利润，减少库存， ∴x=25，

∴每件衬衣应降价25元． 【点睛】

本题考查的是一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系列出方程是解题的关键，注意：解一元二次方程，得到两个根，检验两个根的合理性．

23．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．

（1）若降价3元，则平均每天销售数量为_________件；

（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 【答案】（1）26；（2）10元 【分析】

（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价3元，则平均每天可多售出2×3=6件，即平均每天销售数量为20+6=26件；

（2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可． 【详解】

解：（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3=26件． 故答案为：26；

（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．

根据题意，得 （40-x）（20+2x）=1200， 整理，得x2-30x+200=0， 解得：x1=10，x2=20． ∵要求每件盈利不少于25元， ∴x2=20应舍去， ∴x=10．

答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元． 【点睛】

此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键．

24．已知关于的方程x22xm20．

（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围； （2）当该方程的一个根为1时，求m的值及方程的另一根． 【答案】（1）m3；（2）-1，-3 【分析】

（1）由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围；

（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系即可得出关于m、x1的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】

解：（1）依题意得：△b24ac2241(m2)124m0， 解得：m3．

若该方程有两个不相等的实数根，实数m的取值范围为m3．

（2）设方程的另一根为x1，

1x12由根与系数的关系得：，

1?xm21x13解得：，

m1m的值为1，该方程的另一根为3．

【点睛】

本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解二元一次方程组，解题的关键是：（1）熟练掌握“当△0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用根与系数的关系找出关于m、x1的二元一次方程组．