高中数学全称与存在量词练习及答案

高中数学全称与存在量词练习及答案

1.下列命题：①至少有一个x使x＋2x＋1＝0成立；②对任意的x都有x＋2x＋1＝0成立；③对任意的x都有x＋2x＋1＝0不成立；④存在x使x＋2x＋1＝0成立. 其中是全称量词命题的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 2.下列命题中是全称量词命题的是( ) A.圆有内接四边形 B.C.

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D.若三角形的三边长分别为3、4、5，则这个三角形为直角三角形 3.下列命题中既是全称量词命题又是真命题的个数是( ) ①所有的二次函数都有零点； ②∀x∈R，(x－1)＋1≥1； ③有的直线斜率不存在. A.0 B.1 C.2 D.3

4.将“x＋y≥2xy”改写成全称量词命题，下列说法正确的是( ) A.∀x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy B.∃x0，y0∈R，使＋≥2x0y0 C.∀x＞0，y＞0，都有x＋y≥2xy D.∃x0＜0，y0＜0，使＋≤2x0y0

5.判断下列命题是否为全称量词命题，若是，用数学量词符号改写下列命题. (1)对任意的m＞1方程x2－2x＋m＝0无实数根； (2)实数的平方大于等于0.

6.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( ) A.每一个二次函数的图象都是开口向上 B.存在一条直线与两个相交平面都垂直 C.存在一个实数x0，使－3x0＋6＜0

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D.对任意c≤0，若a≤b＋c，则a≤b

7.判断下列全称量词命题的真假，并说明理由. (1)∀x∈R，

＝|x|；

(2)∀x∈R，x2＋2x＋1＞0； (3)对任意x＜3，都有x＜5；

(4)对任意实数a，b，c，方程ax2＋bx＋c＝0都有两个实数解.

8．判断下列命题是不是全称量词命题，如果是，指出其中的全称量词，并判断真假： （1）所有正方形都是平行四边形； （2）能被5整除的整数末位数字为0.

9．判断下列命题是不是存在量词命题，如果是，指出其中的存在量词，并判断真假： （1）存在一个无理数x，使x2也是无理数； （2）xR，使x2x10.

10.命题“∀x∈[1,2]，x－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A.a≥4 B.a≤4 C.a≥5 D.a≤5

11.若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________.

12.在R上定义运算⊙：x⊙y＝x(1－y)，∀x∈R，不等式(x－a)⊙(x＋a)＜1恒成立，求实数a的取值范围.

13.下列命题不是“∃x0∈R，＞3”的表述方法是( ) A.有一个x∈R，使得x＞3 B.对有些x∈R，使得x＞3 C.任选一个x∈R，使得x＞3 D.至少有一个x∈R，使得x＞3 14.选择合适的量词(∀、∃)，加在p(x)的前面，使其成为一个真命题. (1)x＞2； (2)x2≥0； (3)x是偶数；

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(4)若x是无理数，则x2是无理数；

(5)a＋b＝c.(这是含有三个变量的语句，则用p(a，b，c)表示)

15.下列存在量词命题是假命题的是( )

A.存在x∈Q，使2x－x3＝0 B.存在x∈R，使x2＋x＋1＝0 C.有的素数是偶数 D.有的有理数没有倒数 16.下列命题中真命题有( ) ①p：∀x∈R，x－x＋≥0； ②q：所有的正方形都是矩形； ③r：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0； ④s：至少有一个实数x，使x2＋1＝0. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

17.下列命题中是存在性命题且是真命题的个数是( ) ①∃x∈R，x≤0；

②至少有一个整数，它既不是合数，也不是质数； ③∃x∈{x|x是无理数}，x3是无理数． A.0 B.1 C.2 D.3

18.四个命题：①∀x∈R，x－3x＋2＝0；②∃x∈Q，x＝2；③∃x∈R，x＋1＝0；④∀x∈R，4x＞2x－1＋3x2.其中真命题的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3

19.已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”；命题q：“∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”.若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为( )

A.a≤－2或a＝1 B.a≤－2或1≤a≤2 C.a≥1 D.－2≤a≤1 20.设集合A＝{(x，y)|(x－4)＋y＝1}，B＝{(x，y)|(x－t)＋(y－at＋2)＝1}，如果命题“∃t0∈R，A2

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∩B≠∅”是真命题，则实数a的取值范围是________. 21.在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)，若命题p“存在x0＞2，不等式(x0－a)⊗x0＞a＋2成立”为假命题，求实数a的取值范围. 答案

1.下列命题：①至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立；②对任意的x都有x2＋2x＋1＝0成立；③对任意的x都有x＋2x＋1＝0不成立；④存在x使x＋2x＋1＝0成立. 其中是全称量词命题的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 【答案】B

【解析】①和④中用的是存在量词“至少有一个”“存在”，属存在量词命题；②和③用的是全称量词“任意的”，属全称量词命题，所以B正确. 2.下列命题中是全称量词命题的是( ) A.圆有内接四边形 B.C.

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D.若三角形的三边长分别为3、4、5，则这个三角形为直角三角形 【答案】A

【解析】由全称量词命题的定义可知，“圆有内接四边形”即为“所有圆都有内接四边形”，是全称量词命题.

3.下列命题中既是全称量词命题又是真命题的个数是( ) ①所有的二次函数都有零点； ②∀x∈R，(x－1)＋1≥1； ③有的直线斜率不存在. A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】B

【解析】“所有”、“∀”是全称量词，“有的”是存在量词，

由全称量词命题和存在量词命题的定义知，①②是全称量词命题，③是存在量词命题，因二次函数的图象与x轴交点个数可能为0个、1个或2个，故①是假命题，因∀x∈R，(x－1)≥0，所以(x－1)＋1≥1，所以②为真命题.

4.将“x2＋y2≥2xy”改写成全称量词命题，下列说法正确的是( ) A.∀x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy B.∃x0，y0∈R，使＋≥2x0y0

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C.∀x＞0，y＞0，都有x2＋y2≥2xy D.∃x0＜0，y0＜0，使＋≤2x0y0 【答案】A

【解析】这是一个全称量词命题，且x，y∈R，故选A.

5.判断下列命题是否为全称量词命题，若是，用数学量词符号改写下列命题. (1)对任意的m＞1方程x2－2x＋m＝0无实数根； (2)实数的平方大于等于0.

【答案】(1)是一个全称量词命题，用符号表示为：∀m＞1，方程x－2x＋m＝0无实数根. (2)是一个全称量词命题，用符号表示为：∀x∈R，x≥0. 6.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( ) A.每一个二次函数的图象都是开口向上 B.存在一条直线与两个相交平面都垂直 C.存在一个实数x0，使－3x0＋6＜0 D.对任意c≤0，若a≤b＋c，则a≤b 【答案】D

【解析】每一个二次函数的图象都是开口向上是假命题；存在一条直线与两个相交平面都垂直，是存在量词命题，且是假命题；存在一个实数x0，使－3x0＋6＜0是存在量词命题，且是假命题；对任意c≤0，若

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a≤b＋c，则a－b≤c≤0，则a≤b，是全称量词命题，且是真命题.

7.判断下列全称量词命题的真假，并说明理由. (1)∀x∈R，

＝|x|；

(2)∀x∈R，x2＋2x＋1＞0； (3)对任意x＜3，都有x＜5；

(4)对任意实数a，b，c，方程ax2＋bx＋c＝0都有两个实数解. 【答案】(1)真命题，根据根式的性质可知. (2)假命题，当x＝－1时，x2＋2x＋1＝0. (3)真命题，若x＜3，则必有x＜5.

(4)假命题，当a＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0至多有一个解.

8．判断下列命题是不是全称量词命题，如果是，指出其中的全称量词，并判断真假：

（1）所有正方形都是平行四边形； （2）能被5整除的整数末位数字为0. 【答案】答案见解析

【解析】（1）是全称量词命题，全称量词为“所有”，是真命题； （2）是全称量词命题，其中省略了全称量词“所有”，是假命题.

9．判断下列命题是不是存在量词命题，如果是，指出其中的存在量词，并判断真假： （1）存在一个无理数x，使x2也是无理数； （2）xR，使x2x10. 【答案】答案见解析

【解析】（1）是存在量词命题，存在量词为“存在”，当x时，2也是无理数，故是真命题； （2）是存在量词命题，存在量词“（存在）”，命题.

10.命题“∀x∈[1,2]，x－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A.a≥4 B.a≤4 C.a≥5 D.a≤5 【答案】C

【解析】满足命题“∀x∈[1,2]，x－a≤0”为真命题的实数a即为不等式x－a≤0在[1,2]上恒成立的a的取值范围，即a≥x2在[1,2]上恒成立，即a≥4，要求的是充分不必要条件，因此选项中满足a＞4的即为所求，选项C符合要求.

11.若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________. 【答案】[－8,0]

【解析】当a＝0时，不等式显然成立；当a≠0时，由题意知，

解得－8≤a＜0.综上，实数

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1430,不存在x使x2x10，是假

a的取值范围是[－8,0].

12.在R上定义运算⊙：x⊙y＝x(1－y)，∀x∈R，不等式(x－a)⊙(x＋a)＜1恒成立，求实数a范围.

【答案】∵(x－a)⊙(x＋a)＜1，∴(x－a)[1－(x＋a)]＜1， ∴－x2＋x＋a2－a－1＜0，即x2－x－a2＋a＋1＞0，

∵∀x∈R，上述不等式恒成立，∴Δ＜0，即1－4(－a2＋a＋1)＜0，

的取值

解得－＜a＜， ∴实数a的取值范围是

.

13.下列命题不是“∃x0∈R，＞3”的表述方法是( ) A.有一个x∈R，使得x＞3 B.对有些x∈R，使得x＞3 C.任选一个x∈R，使得x2＞3 D.至少有一个x∈R，使得x2＞3 【答案】C

14.选择合适的量词(∀、∃)，加在p(x)的前面，使其成为一个真命题. (1)x＞2； (2)x2≥0； (3)x是偶数；

(4)若x是无理数，则x是无理数；

(5)a＋b＝c.(这是含有三个变量的语句，则用p(a，b，c)表示) 【答案】(1)∃x∈R，x＞2.

(2)∀x∈R，x≥0；∃x∈R，x≥0都是真命题. (3)∃x∈Z，x是偶数.

(4)∃x∈R，若x是无理数，则x2是无理数.(如(5)∃a，b，c∈R，有a2＋b2＝c2.

15.下列存在量词命题是假命题的是( ) A.存在x∈Q，使2x－x3＝0 B.存在x∈R，使x2＋x＋1＝0 C.有的素数是偶数 D.有的有理数没有倒数 【答案】B

【解析】对于任意的x∈R，x2＋x＋1＝16.下列命题中真命题有( ) ①p：∀x∈R，x2－x＋≥0；

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)

＋＞0恒成立．

②q：所有的正方形都是矩形； ③r：∃x∈R，x＋2x＋2≤0； ④s：至少有一个实数x，使x＋1＝0. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【解析】x2－x＋＝题，④是假命题．

17.下列命题中是存在性命题且是真命题的个数是( ) ①∃x∈R，x≤0；

②至少有一个整数，它既不是合数，也不是质数； ③∃x∈{x|x是无理数}，x3是无理数． A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】D

【解析】①②③均是存在性命题，且都为真命题．故选D.

18.四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2＝0；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R，4x2＞2x－1＋3x2.其中真命题的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】A

【解析】①中只有x＝2或x＝1是方程的根，所以①为假命题；②中x＝±③中方程无解；④中不等式解集为{x|x∈R且x≠1}．故选A.

19.已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”；命题q：“∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”.若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为( )

A.a≤－2或a＝1 B.a≤－2或1≤a≤2 C.a≥1 D.－2≤a≤1 【答案】A

【解析】由已知可知，p和q均为真命题，由命题p为真，得a≤1，由命题q为真，得a≤－2或a≥1，所以a≤－2或a＝1.

20.设集合A＝{(x，y)|(x－4)2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|(x－t)2＋(y－at＋2)2＝1}，如果命题“∃t0∈R，A∩B≠∅”是真命题，则实数a的取值范围是________.

为无理数，故②也为假命题；

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≥0，故①是真命题；x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1＞0，故③是假命题；易知②是真命

【答案】

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【解析】因为A＝{(x，y)|(x－4)＋y＝1}，表示平面直角坐标系中以M(4,0)为圆心，1为半径的圆，B＝{(x，y)|(x－t)2＋(y－at＋2)2＝1}，表示以N(t，at－2)为圆心，1为半径的圆，且其圆心N在直线ax－y－2＝0上，如图.

如果命题“∃t0∈R，A∩B≠∅”是真命题，即两圆有公共点，则圆心M到直线ax－y－2＝0的距离不大于2，即

≤2，解得0≤a≤.

所以实数a的取值范围是0≤a≤. 21.在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)，若命题p“存在x0＞2，不等式(x0－a)⊗x0＞a＋2成立”为假命题，求实数a的取值范围.

【答案】因为命题p“存在x0＞2，不等式(x0－a)⊗x0＞a＋2成立”为假命题，所以p的否定为真命题，即“任意x＞2，不等式(x－a)⊗x≤a＋2都成立”为真命题.

由题意，得(x－a)⊗x＝(x－a)(1－x)，故不等式(x－a)⊗x≤a＋2可化为(x－a)(1－x)≤a＋2，化简得x2－(a＋1)x＋2a＋2≥0.

故原命题等价于x2－(a＋1)x＋2a＋2≥0在(2，＋∞)上恒成立. 由二次函数f(x)＝x2－(a＋1)x＋2a＋2的图象知，

其对称轴为x＝，则或

解得a≤3或3＜a≤7.

综上，实数a的取值范围为(－∞，7].