学园Ｉ ＡＣＡＤＥＭＹ ２０１２年９月第１７期 微积分的基本数学思想 颜有祥广东科技学院基础部 【摘要】微积分是一系列数学思想演变的结果，我们学习微积分时要感悟其中所蕴含的重要数学思想。只有充分认识和 领悟了这几种思想，才能更好地理解微积分、更深刻地认识微积分，更好地掌握微积分的方法。数学思想是数学知识的精髓， 是把知识转化为能力的桥梁。微积分中最基本的数学思想包含：有限与无限思想、以直代曲的思想和极限思想等。 【关键词】数学思想微积分有限与无限思想 以直代曲思想极限思想 【中图分类号】０１７２ 【文献标识码】Ａ 【文章编号】１６７４—４８１０（２０１２）１７—００６１—０２ 一数学思想 若把它改写成１一（１—１）一（１—１）一（１—１）一…・ 数学思想，是指现实世界空间形式和数量关系反映到人 又似乎应等于１７ 的意识中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与 如果我们把它们的和设为ｓ，可以写出ｓ＝１一（１—１＋１ 数学理论的本质认识。 —“纵然是把数学知识忘记了，但数学的精神、思想、方 １＋１—１＋……）＝１一ｓ，于是又有Ｓ＝÷？ 法也会深深地铭刻在头脑里，长久地活跃于日常的业务中。” 仔细研究，人们发现无限与有限有本质的区别，我们不 通俗地说：数学思想就是把所学的数学知识和公式都排空以 能把有限范围内的规律和法则完全照搬到无限中去。将对无 后还存留在头脑中的东西。 限的研究转化为有限，并用有限去认识无限，这是解决无限 数学思想是数学知识的精髓，是知识转化为能力的桥梁。 问题的必由之路；另外，将有限的问题转化成无限，用无限 我们学习微积分时，更要感悟其中所蕴含的重要的数学思想。 分割、无限求和的方法解决有限量问题也是微积分基本思想 二微积分中的基本数学思想 之一。 “微积分是漫长的一系列数学思想演变的结果，是经过 有限与无限的思想应包含两方面： 许多数学家、思想家的艰苦努力才逐渐发展起来的关于连续 第一，通过有限认识无限。在微积分中，为了达到认识 性和无穷小量的学说。它是随着变量与函数概念的采用而逐 不确定的、无限的情形，常常是从确定的、有限的情形出发。 步建立起来的，是继欧几里德几何之后，全部数学中的一个 最大的创造。”微积分本身就是一种数学思想，它是许多科学 例如：描述数列 ＝— 的极限是１，我们是这样做的。 家的思想结晶，蕴涵了辩证哲学思想。由于它的博大精深， 对于任意小的８＞０，总有Ｎ＝ 一１，当，２＞Ｎ时，始终有ｌＸｎ一１｝ 在初步学习微积分的时候，学生们往往感到很迷茫。微积分 占 中包含了哪些最基本的数学思想和方法，依据它们各自的功 ：ｌ÷一１１．＜ｓ，所以ｌｉｍ÷：１。 能又如何把它们分类？这是一个很有意义、比较复杂而有待 对于给定的ｓ＞０（无限地变化过程中的一瞬间），正数ｓ 认真探讨的课题。 我认为微积分中最基本的数学思想应包含：有限与无限 是确定的、有限的。在这有限的一瞬间，对于 ＞Ｎ的一切 思想、以直代曲的思想和极限思想等。只有充分认识和领悟 Ｘｎ＝— 与１的距离都小于８。又由于ｓ的任意．１生（任意小） 了这几种思想才能更好地理解微积分、更深刻地认识微积分， 其无限变化的一面，把“数列 ＝÷无限趋向于１”刻画的 以至于灵活运用微积分这个数学分析的工具。 １．有限与无限思想 淋漓尽致。描绘极限没有比这种数学语言和数学思想更加准 对有限与无限（即：无穷）的认识是我们学习“微积分” 确和美妙的了。 的基础。牛顿和莱布尼茨都认为微积分是代数的扩展，它是 “无穷”的代数，或者是具有无穷多个项的代数。极限、无 再看无穷项求和的案例。如： ＋ ＋吉＋Ｌ＋ ＋Ｌ 穷大量与无穷小量、导数、定积分、级数等都以无限思想为 我们先假设一个有限项的部分和ｓ ： １＋ １＋ １＋Ｌ＋ １： 依托。有限与无限相比，有限是具体的，无限是抽象的，人 们首先完成了对有限的认识，而对无限的认识是有过一些曲 １一（÷）”，令 —ｏ。显然有ｓ 一１。因此我们有理由相信， 折的过程的： 如：无限项相加１—１＋１—１＋ｌ一１＋……应该是多少？ 无限项主 言 言 Ｌ＋ ＋Ｌ的和是１。 如果运用结合律把它改写成（１—１）＋（１—１）＋（１ 用一个正方形可以对这个级数的和给出一个绝妙的几何 —１）＋……似乎应等于Ｏ？ 解释。从一个边长为１的空正方形开始，用颜料填涂一半， 境，理顺管理部门、导师与研究生之间的关系，不断探索、 ［２］朱广良、孙涛．对于高校研究生管理工作的思考［Ｊ］．陕 不断创新。 西学位与研究生教育，２０１０（４） 参考文献 ［３］雷亚萍．实施研究生教育的校、院两级管理模式研究［Ｊ］． ［１］李娟．正确处理研究生科研创新中的几个关系问题［Ｊ］ 陕西学位与研究生教育，２０１０（４） 中国高教研究，２００４（７） ［责任编辑：李锦雯］ 一６１— 学园ｌ ＡＣＡＤＥＭＹ 然后再填涂剩余空白的一半，不断进行下去，……，永 远，……，永远。“最终”填满面积为…１’的这个正方形。 对于无限项和的级数，我们正是通过有限项来认识的。 现在我们可以理解１—１＋１—１＋１—１＋……的奇怪现象了。 因为它的部分和（有限项）数列Ｓ 只在０与１之间摇摆，没 有确定趋向，我们称这种级数发散。 第二，有限转化为无限。另一方面，我们又通过无限来 表示有限，从而实现有限与无限的相互转化。 通常作为导数概念的引例——变速直线运动的速度问题。 设物体作变速直线运动，其运动方程（路程Ｓ与时间ｔ之间的 函数关系）为：Ｓ：Ｓ（ｔ），求物体在时刻ｔｏ的瞬时速度。 物体在时刻ｔｏ的瞬时速度是一个确定的、有限的数值（未 知的）。我们是通过构造无限的过程来实现对这个未知的有限 的数值的认知。一般教材上都有描述。这就是用无限来认识 有限的案例。 通常作为定积分概念的引例——曲边梯形的面积问题， 也是如此。 显然该面积是一个有限的常数，我们运用无限分割的方 法，把这个有限的量转化成了一种特定的无限项和的形式， 从近似到精确，从有限到无限，再运用极限的思想最后求得 它的准确值。 有限与无限是对立统一的。在微积分中，经常利用有限 来认识无限，也通过无限来确定有限。学习微积分首先要理 解有限与无限的思想。 ２．以直代曲的思想 曲与直相互转化的方法是微积分学乃至全部高等数学的 重要的、必不可少的方法。以直代曲的思想可以说是微积分 方法的灵魂。 直与曲的区别是极为明显的：从几何特征来看，曲就是 曲，直就是直，非此即彼；无论在理论上还是在实际的计算 上，直比曲要简单得多。物体的运动是绝对的，静止是相对 的；作为几何图形中的曲是绝对的，直则是相对的。在一定 的条件下，它们可以相互转化。人们意识中的水平直线（水 平线），实际上是绕地球表面的圆弧。甚至连太阳光线也因爱 因斯坦的相对论变得弯曲起来。但是在一定条件下，曲可以 转化为直。如一条曲线，取其中十分微小的一段无限放大了 去看近似为直线。恩格斯说：“高等数学的主要基础之一是这 样一个矛盾：在一定条件下直线和曲线应当是一回事”这句 话高度概括了微积分的基本思想。全部微积分学就是建立在 解决“直”与“曲”的矛盾，实现这一矛盾相互转化的基础 上。“直线和曲线在微积分中终于等同起来了。”正是利用这 种矛盾转化，解决了初等数学中无法解决的一些问题。因此， “以直代曲”是高等数学的重要的必不可少的思想方法。 在微积分中，曲转化为直的条件是“无限细分”。直线与 曲线的等同是在无限细分过程中实现的。例如，在前面提到 的求曲边梯形的面积问题，其步骤是： 首先化整为零：把曲边梯形的底边任意分成 段，然后 以每一小段为底边，用平行于Ｙ轴的直线把曲边梯形分割成 个小的曲边梯形。然后“以直代曲”：在每个小曲边梯形中把 曲边看成直边，于是就可以用这些小“直边矩形”的面积近 似地代小曲边梯形的面积，在分割的条件下实现了局部的“以 直代曲”。第三步积零为整：把所有的小矩形面积加起来，求 出曲边梯形面积的近似值。最后在无限细分的过程中由量变 到质变，得到曲边梯形面积的准确值。微积分中的“直”与 “曲”的等同和转化，突破了初等数学“山穷水尽疑无路” 的困境，开辟了由“直”认识“曲”的广阔特征，给数学带 一６２— ２０１２年９月第１７期 来了“柳暗花明又一村”。 此外，用定积分求曲线的弧长、求几何体体积等计算公 式都是以直代曲的结果。计算变力作功、液体中的压力、物体 的转动惯量等非均匀分布的问题，则是以直代曲思想的升华。 ３．极限思想 极限思想是高等数学的核心思想，是微积分的基础。微 积分中几乎所有的重要概念都是由极限来定义的，从连续概 念到导数概念，从定积分到级数的收敛发散等，极限思想方 法可以说贯穿了微积分的全部内容。 数学史上曾导致第二次数学危机产生的“贝克莱悖论” 可以表述为“无穷小量究竟是否为０”的问题：就无穷小量 在当时实际应用而言，它必须既是０，又不是０。但从形式逻 辑而言，这无疑是一个矛盾，这一问题的提出在当时的数学 界引起了一定的混乱。化解这个危机的关键就是极限。 极限首先是个观念，它融合了无限的思想。极限是对没 完没了“无限的过程”的观察，揭示了过程中两个变量变化 趋势的内在个关联。其中自变量的变化趋势分为两大类：一 类是 。；一类是 一 ；由于极限是研究变量在变化过程 中的情况，因此Ｘ变化趋向于Ｘ。始终不能到达Ｘ０，这样一来， 你可以体验到 。的过程，和ｘ—ｏ。一样“没完没了”。无 论哪一种情形，我们都不会考虑Ｘ从何处出发，也不会考虑Ｘ 具体如何趋于Ｘ。或趋向无穷大，是蛙跳般不停不息？或是醉 汉般的左右摇摆？还是连续地步步逼近？ 当自变量有一个特定的变化趋势时，相应的函数值是否无 限接近于一个确定的数Ａ？如果是，则称数Ａ为函数的极限。 “无限接近”还不是严密的数学语言。但这是理解极限 定义的最直观的一步。经过多少代人的千锤百炼，给微积分 铸就了自己的倚天屠龙剑。那就是极限语言（即ｓ一８语言）。 没有这套语言，我们没有办法给出极限定义，也无法严密证 明任何一个极限问题。 我们通过一个例子来体验一下：ｌｉｍ（ ＋１）＝５。按定 义：对任给￡＞０，只要取 ：三，当０＜Ｉｘ一２ｌ＜ 时，就有ｌ（２ｘ ２ ’’ ＋１）一５Ｉ＜ｓ。此即ｔｉｍ（ ＋１）＝５。 我们用蛙跳般的趋近来展示一下它的变化过程： 若要使ｌ（ ＋１）一５ｌ＜０．１，只须 ＝０．０５； 若要使ｌ（ ＋１）一５ｌ＜０．０ｌ，只须 ＝０．００５； 也即，不管你要求（２ｘ＋１）与５多么接近，都能办得到 （即找到相应的 ），对于满足０＜ｌ 一２ｌ＜５的所有Ｘ都能使得 （ ＋１）与５接近程度达到你前面所提出的要求。因此我们 说：当Ｘ趋向２时，（２ｘ＋１）极限是５。 学习极限概念，首先要学会观察，了解过程中的变量有 无确定的变化趋势。学习体验相应的发展趋势，建立了极限 的思想再去理解微积分中一些概念就不会太难了。 参考文献 ［１］蔡上鹤．数学思想和数学方法［Ｊ］．中学数学，１９９７（９） ［２］［日］米山国藏著．数学的精神、思想和方法（毛正中、 吴素华译）［Ｍ］．成都：四川教育出版社，１９８６ ［３］邵光华．作为教育任务的数学思想与方法［Ｍ］．上海：上 海教育出版社，２００９．９：１０９、１８５、２０３ ［４］［美］Ｍ．克莱因．古今数学思想［Ｍ］．上海：上海科技出 版社．１９７９：２６ ［５］恩格斯．反杜林论［Ｍ］．北京：人民出版社，１９７０：１１８ （责任编辑：李锦雯］