为什么采用二叉排序树查找的平均查找长度为O(log_{2}n)
发布网友
发布时间：2022-04-28 10:32
共1个回答
热心网友
时间：2022-04-14 13:24
O(log2(n))是时间复杂度,而二叉排序树查找成功的平均查找长度为:
ASL = [(n+1)/n] * log2(n+1) - 1
推导过程如下:
假设有一颗二叉排序树, 总结点数是n, 高度是h, 根结点的高度是1,
假设也是满二叉树, n与h的关系, 有公式: n = (2^h) - 1
也就是: h = log2(n+1)
对于高度为2,总结点数是3的二叉排序树(满二叉树),查找成功的平均查找长度为:
ASL = (1*1 + 2*2) / 3
对于高度为3,总结点数是7的二叉排序树(满二叉树),查找成功的平均查找长度为:
ASL = (1*1 + 2*2 + 3*4) / 7
对于高度为h,总结点数是n的二叉排序树(满二叉树),查找成功的平均查找长度为:
ASL = ( 1*1 + 2*2 + 3*4 + ... + h*2^(h-1) ) / n [等式1]
对于[等式1]里的1*1 + 2*2 + 3*4 + ... + h*2^(h-1)
该数列有h项: 1*2^0, 2*2^1, 3*2^2, ... , h*2^(h-1)
其总和S = 1*2^0 + 2*2^1 + 3*2^2 + ... + h*2^(h-1) [等式2]
等式两边同乘以2,有: 2*S = 1*2^1 + 2*2^2 + 3*2^3 + ... + (h-1)*2^(h-1) + h*2^h [等式3]
用[等式3]减去[等式2]有:
S = h*2^h - (2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2(h-1)) [等式4]
其中(2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^(h-1))是等比数列求和,设:
M = (2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^(h-1))
等式两边同乘以2,有: 2*M = (2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^h)
两个等式相减,有: M = 2^h - 1
将M代入[等式4]有: S = h * 2^h - (2^h - 1) = (h-1) * 2^h + 1 [等式5]
因为 h = log2(n+1),将h代入[等式5],有:
S = [ log2(n+1) - 1 ] * 2^[log2(n+1)] + 1
= [ log2(n+1) - 1 ] * (n+1) + 1
= (n+1) * log2(n+1) - n
也就是 S = ( 1*1 + 2*2 + 3*4 + ... + h*2^(h-1) ) = (n+1) * log2(n+1) - n
将上述S代入[等式1],有: ASL = [(n+1) * log2(n+1) - n] / n
= [(n+1)/n] * log2(n+1) - 1
所以,二叉排序树查找成功的平均查找长度为:
ASL = [(n+1)/n] * log2(n+1) - 1 [公式1]
其时间复杂度是: O(log2(n))
假设有一颗平衡的二叉排序树,高度h=4,总结点数n=11,不是满二叉树:
36
/ \
24 52
/ \ / \
10 30 41 90
/ \ / /
8 12 38 61
根据[公式1],查找成功的平均查找长度为:
ASL = [(n+1)/n] * log2(n+1) - 1 = [(11+1)/11] * log2(11+1) - 1 约等于 2.91
逐个结点计数,平均查找长度为:
ASL = (1*1 + 2*2 + 3*4 + 4*4) / 11 = 33 / 11 = 3
假设有一颗平衡的二叉排序树,高度h=4,总结点数n=15,是满二叉树:
36
/ \
24 52
/ \ / \
10 30 41 90
/ \ / \ / \ / \
8 12 28 31 38 42 61 91
根据[公式1],查找成功的平均查找长度为:
ASL = [(n+1)/n] * log2(n+1) - 1 = [(15+1)/15] * log2(15+1) - 1 = 49/15
逐个结点计数,平均查找长度为:
ASL = (1*1 + 2*2 + 3*4 + 4*8) / 15 = 49/15
