...6),C(a,-a)是一平行四边形的四个顶点,则CD长的最小值为

发布网友发布时间：2024-10-21 14:06

共3个回答

热心网友时间：2024-10-21 14:46

【俊狼猎英】团队为您解答~
很明显有两种情况
1）CD是平行四边形的一条边，那么有AB=CD=10
2）CD是平行四边形的一条对角线，那么根据定理，
有AB^2+CD^2=AC^2+CB^2+BD^2+DA^2=2AC^2+2BC^2（用向量点乘很容易证明）
现已知AB=10，只需要求AC^2+BC^2的最小值
而AC^2+BC^2=(8-a)^2+a^2+a^2+(6+a)^2=4a^2-4a+100=4(a-1/2)^2+99
因此，a=1/2时，AC^2+BC^2取最小值99，
进而CD=√(2*99-10^2)=√98为最小值
很明显√98<10，因此CD最小值为√98

热心网友时间：2024-10-21 14:42

当CD为平行四边形的边时，CD=AB=10，
当CD为对角线时，设CD与AB相交于P，
易由三角形中位线知：P(4，3)，
C的坐标为(a，-a)上，横纵坐标互为相等数，
∴C在第二、四象限角平分线QR上，
过P作PC⊥QR于C，交X轴于E，连接OP，(PC最短，从而CD=2PC最短)，
∵RQ与X轴夹角为45°，∴ΔPHE与ΔOCE都是等腰直角三角形，
∴EH=PH=3，∴PE=3√2，OE=1，∴CE=√2/2，
∴PC=7/2√2，
∴CD最小=2PC=7√2。

热心网友时间：2024-10-21 14:49

解：有两种情况：
①CD是平行四边形的一条边，那么有AB=CD=
62+82
=10
②CD是平行四边形的一条对角线，
过C作CM⊥AO于M，过D作DF⊥AO于F，交AC于Q，过B作BN⊥DF于N，
则∠BND=∠DFA═∠CMA=∠QFA=90°，
∠CAM+∠FQA=90°，∠BDN+∠DBN=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BD=AC，∠C=∠D，BD∥AC，
∴∠BDF=∠FQA，
∴∠DBN=∠CAM，
∵在△DBN和△CAM中
∠BND＝∠AMC
∠DBN＝∠CAM
BD＝AC

∴△DBN≌△CAM（AAS），
∴DN=CM=a，BN=AM=8-a，
D（（8-a，6+a），
由勾股定理得：CD
2
=（8-a-a）
2
+（6+a+a）
2
=8a
2
-8a+100=8（a-
1
2
）
2
+98，
当a=
1
2
时，CD有最小值，是
98

∵
98
＜10，
∴CD的最小值是
98
=7
2
．
故答案为：7
2
．

热心网友时间：2024-10-21 14:47

热心网友时间：2024-10-21 14:44

热心网友时间：2024-10-21 14:42

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