已知1/a,1/b,1/c成等差数列,求证b+c/a,a+c/b,a+b/c也成等差数列。 请给...
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发布时间：2024-10-24 11:25
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热心网友
时间：2024-12-09 12:22
1/a，1/b，1/c等差
记a+b+c=t
t/a，t/b，t/c等差
t/a一1，t/b一1，t/c一1，等差
所以得证。
热心网友
时间：2024-12-09 12:22
热心网友
时间：2024-12-09 12:22
因为1/a,1/b,1/c是等差数列,所以2/b=1/a+1/c=(a+c)/ac
故a+c=2ac/b,ab+bc=2ac
(b+c)/a+(a+b)/c-2(a+c)/b
=(bc+c^2+a^2+ab)/ac-4ac/b^2
=(b^3c+b^2c^2+a^2b^2+ab^3-4a^c^2)/acb^2
=(b^3c+b^2c^2+a^2b^2+ab^3-a^2b^2-b^2c^2-2ab^2c)/acb^2
=(b^3c+ab^3-2ab^2c)/acb^2
=(bc+ab-2ac)/ac
=0
所以(b+c)/a,(a+c)/b,(a+b)/c是成等差数列
